在知识迁移、问题类化中探索多角形内角和问题

袁乐

【摘要】数学讲究理性的推导，也讲究抽象的思考，讲究静态的逻辑，也讲究动态的过程，讲究生动的图像，也讲究简洁的符号.中学数学教学应促使学生学会用一双数学的慧眼观察世界，从数学的角度发现和提出问题、探索和解决问题.不仅要学会书本上的知识，更要学会在知识迁移和问题类化中发现新问题并探索新问题，由一得十，由十得百，由百得世间万千.笔者从“多边形的内角和与外角和”这一节内容出发，尝试去探索和解决“多角形的内角和”问题.

【关键词】多角形内角和;知识迁移;问题类化;环形跑道

一、基于教材，提出问题

在苏科版初中教材中，“多边形”一般泛指“凸多边形”.七年级的学生已经掌握了“多边形的内角和与外角和”的相关知识，得出了n边形内角和公式为180°×（n-2），n边形外角和为360°.并可以利用总结归纳好的公式快速计算，十分方便.在日常教学中，针对“角”的习题训练巩固方面，教师常常会选用五角形的图案（图1-1），要求学生计算其五个角之和.学生一般会找寻五角形图案中蕴含的三角形，利用三角形的外角定理，将要求解的五个角汇聚到同一个小三角形中，很容易得到五角形的内角和是180°.

既然五角形这样的图案可以解决其内角和问题，那么与其类似的其他图形的内角和问题是否也可以解决呢？是否也能得出一个统一的规律性的结论呢？这真是一个有趣的问题！

二、明确定义，尝试探索

由于形如上述的图案（图1-2、图1-3）在中学教材中没有明确的名称，为了叙述方便，本文不妨将这些图案称作“多角形”.它们可以看作是在同一平面内一条首尾相连的折线所组成的图形.

通过把复杂的多角形拆分转换成熟悉的三角形、四边形，利用它们的相关知识，可以计算得到六角形（图1-2）内角和为360°，七角形（图1-3）内角和为540°.但随着图形的进一步复杂，这样的推理计算难度会逐渐增大.不妨观察目前已经得出的数据，尝试总结其中蕴含的规律.

五边形内角和=540°，五角形内角和=180°，

六边形内角和=720°，六角形内角和=360°，

七边形内角和=900°，七角形内角和=540°，

……

对比数据，很容易有以下三点发现：

1.纵向对比数据，每增加一个边（角），其内角和都会增加180°;

2.再横向对比数据，后者总是比前者少了360°;

3.由于n边形的内角和为180°×（n-2），所以可以类似地尝试总结n角形的内角和为180°×（n-4）.

这个结论是否适用于所有的多角形呢？大胆猜想之后，就必须小心求证了！

三、追本溯源，回到三角形

在思考和解决数学问题时，常常需要借鉴已经学过的知识和累积的经验结论，即所谓知识的迁移.当处理多角形内角和比较困难时，我们不妨去回顾当初是如何研究多边形内角和与外角和的.由于（凸）多边形造型简单，对其内部分割成三角形十分简单，而多角形造型复杂，内部线条较多，显然不宜再划线分割.此时切莫放弃，想想（凸）多边形外角和是怎么研究的呢？

回顾教材可以发现，在课后习题中，曾提出过一个有趣的“环形跑道”的问题情境.把△ABC图案实体化成生活中常见的环形跑道A-B-C-A.跑步者从点A出发依次经过点B、点C、最后回到点A，且跑道中间站立一名观测者.由于在各个顶点处转弯方向总是一致的，无论观测者面朝哪个方向，跑步者从A点出发再回到A点，都会从他面前经过一次，即跑步者绕着观测者跑了一圈.在每个顶点，跑步者转过的角度，就是这个顶点处的外角的大小，绕着这样的“三角形环形跑道”回到起点A，需要一圈，则可以说明“三角形外角和为360°”.

类似地，利用这种“环形跑道”的模型，可以解决所有（凸）多边形外角和问题，都是需要跑一圈，外角和为定值为360°.

四、对比观察、小心求证

对比五边形的环形跑道和五角形的环形跑道A-B-C-D-E-A（如图2所示），在各个顶点處跑步者的转弯方向总是一致的，可见在五角形的环形跑道中，无论观测者面朝哪个方向，跑步者从A点出发再回到A点，必然从他面前经过两次，即跑步者绕着观测者跑了两圈.

由于五角形图案比较复杂，不一定每名学生都能立刻体会出“两圈”，教师可以带领学生们举起胳膊，依照点的顺序，极其夸张地在空中比划画圈，当手臂挥舞越夸张，越能明确地感受到“两圈”.这个过程十分有趣，学生会有很大的兴趣参与其中，这样“玩”数学学习方式对初中的学生来说十分新奇.

再对比六边形的环形跑道和六角形的环形跑道A-B-C-D-E-F-A（如图3所示），同样的会得到在六角形跑道中，需要两圈.

通过两次对比，图中多角形的环形跑道总是比多边形的环形跑道还要多跑一圈，即意味着外角和增加360°.既然外角和多了，那么内角和自然就少了.这样就可以解释为什么一开始我们对比观察得出的：当n相同时，n角形内角和总是比n边形内角和少360°.

但是刚刚是用“跑圈”这种动态的角度去解释多角形的外角问题，缺乏严密的证明.现在以五角形为例，验证在“五角形跑道”（如图4所示）的模型下，回到起点，跑两圈，五个外角是如何转化成两个360°的.

过点A作AK∥BC，过点C作CL∥AE，可证得∠2=∠BAK，∠3=∠4，则可在顶点A处拼凑出一个360°，即∠1+∠2+∠4=360°;

再过点E作EM∥CD，可证得∠6=∠8，∠5=∠AEM，则此时在顶点E处又拼凑出一个360°，即∠6+∠5+∠7=360°;

综上，（∠1+∠2+∠4）+（∠6+∠5+∠7）=360°+360°，即∠1+∠2+（∠4+∠5）+∠6+∠7=720°，确实“跑两圈”等价于“外角和为两个360°”！

通过严格的推理论证，学生可以根据“跑两圈”等价于“外角和为两个360°”，进而自然就得出跑得圈数的多少直接决定着外角和的度数.掌握了这个方法，以后只要外角和能求出来，内角和自然用180°n减去外角和，即可得到多角形的内角和.

五、再探剖析，小结反思

图5-1也是一个七角形，但它的内角和显然比图1-3要小得多.再次利用“环形跑道”的模型，跑步者需要跑三圈，可见其外角和是3个360°，则内角和=180°×7-360°×3=180°.

小结：对n角形，如果在各个顶点处的转弯方向一致（即总是顺时针或逆时针转角），回到起点时，若跑了m圈，则外角和=360°m，内角和=180°n-360°m.

六、峰回路转，再探奇妙

在本文中，虽然我们对多角形从“环形跑道”角度进行了动态的研究，也得出了静态的规律和结论，但是关于“多角形”的研究这还只是冰山一角.

例如，图5-2也是一个七角形，你能求出它的内角和与外角和吗？仔细观察，在环形跑道各个顶点处的转弯方向一致吗？

七、教无定法、贵在得法

在本课题中，教师从已有的多边形的知识出发，从生活中常见的五角形入手，提出多角形的问题.由浅入深，由生活中提炼数学图形，激发学生的兴趣.在思考多角形问题一筹莫展的时候，引导学生温故知新，认准知识之间的衔接点，尝试从已经掌握的几种论证方法着手，探寻新思路.利用这种迁移进行教学，既符合学生的心理特征和认知规律，又有助于形成完整的认知结构，不但使得学生理清了算理算法，思维也得到了发展，既掌握了知识，还培养了能力.学生经历“大胆猜想、小心求证”，体会数学学习看似简单轻松的公式定律的背后，离不开严谨的理论支撑.再经历“峰回路转、再探奇妙”，体会数学探索的跌宕起伏，等闲平地起波澜，在低谷时燃斗志，在高峰时莫得意.每一次数学探索都是在原有的知识上小心翼翼地迈一步，再迈一步.猜想、归纳、求证、推翻、再猜想、再归纳、再求证.这正是数学的无限魅力所在！