小学生日常数学经验的理解及其启示

俞蓉 刘效丽

摘   要 《义务教育数学课程标准（2011年）》明确提出，教师的教学应以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，并指出教师应注重数学知识与学生生活经验等方面的联系。学生从日常生活中获得的数学经验应引起重视。从对学生日常数学经验的进一步理解中可以获得一些教学启示，如赋予学校数学现实意义、分析隐藏在学生错误背后的日常数学经验、重视学生思维过程及数学语言的使用等。

关键词 数学经验 学校数学 数学语言

我国《义务教育数学课程标准（2011年）》明确提出，教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，并指出教师应注重数学知识与学生生活经验等方面的联系[1]。学生从日常生活中获得的数学经验应引起重视。那么，学生日常数学经验是什么？这些经验与学校数学经验之间是什么关系？教学活动中该如何利用学生日常数学经验呢？

一、学生日常数学经验的含义与特点

首先，经验是一个哲学范畴的词语，根据哲学词典上的解释，经验通常指感觉经验，它是人们对经由感觉器官所获得的、关于直接接触的客观事物的现象和外部联系的认识，因此经验常与理性对立或联系在一起。在《现代汉语词典》中名词性经验是指由实践而得来的知识或技能;《牛津高阶英汉双解词典》中经验对应的英文单词experience除具有上述含义外，还指出个体在获得知识或技能的过程中所经历的事或活动会改变其想法与行为，即经验对个体会产生某种程度的影响等。

杜威认为，经验既包含着一个主动因素，即尝试，又包含着一个被动因素，即承受结果，这两个因素以特有形式结合着[2]。换言之，经验就是个体在有所经历后有所得。所得既可能是有利方面、日后可直接利用的，也可能是不利方面、日后需修正的。无论是哪种所得，它们都对经历的个体的知识、能力或情感等多方面产生了一定影响。

其次，“日常数学”是相对“学校数学”（亦称“正式数学”）而言，也被称为“校外数学”或“非正式数学”，它是人类在参与社会文化实践活动中为解决现实问题而自然形成的。国外学者Bishop指出，在其所研究过的所有文化群体中普遍存在6种基本的数学活动：计数、定位、测量、设计、娱乐及阐释现象[3]。由此可以推断，即便是从未学习过学校数学的人，也可以从普遍存在的这些基本数学活动中获得一些数学经验。

综上，这里的学生日常数学经验是指学生在日常生活中通过感官直接体验和感受身边事物的数量关系与空间特征而获得的一种认识，是学生在解决日常生活中的实际问题过程中获得的具体知识或能力、解决问题的策略、某种情感体验或是某种意识信念等，会对学生的学校数学学习产生或大或小、或积极或消极的影响。

根据前文分析，学生日常数学经验具有以下几个主要特点。

首先，学生日常数学经验依托丰富的情境，具有较强的情感体验特征，是学生在多样化的社会活动中为解决对自己具有某种特殊意义的现实问题而获得的，所使用的方法是具体而非抽象的，与此同时，这种情感体验会对学生某些方面产生一定的影响，使学生对自身经验留有较深印象，即日常数学经验在学生身上可能存在某种程度的稳固性。

其次，学生日常数学经验是他们在日常生活中通过感官直接获得的，这就决定了这种经验基本停留于对数学的感性认识层面且缺乏系统性。学校数学教学任务就是将学生对数学的感性认识提升至理性认识，并再运用于现实生活中，以更好地解决现实问题。

二、学生日常数学经验与学校数学经验之间的关系

数学概念既来源于现实世界，又高于现实世界，是经过多次概括和抽象的结果。因此，数学不是直接研究现实对象，而是处理它们的抽象反映，处理它们的模型[4]。

一方面，正因为数学概念来源于现实世界，所以为数学教学联系学生日常数学经验提供了可能性。学生在接受正式数学教育之前从现实世界中获得了自己的数学经验。学者Resnick认为，小学生的数学思维发展一般经历准量、量、数与运算这四个阶段（见表1）[5]。

根据Resnick所提理论，小学生接受正式的数学教育之前，其数学思维一般已由准量阶段进入量的阶段，从某种意义上来说，学生正是在这两个阶段积累了自己的数学经验，而这些经验可以看作是学校数学经验的“萌芽”。一般进入小学后，即开启了通向数的阶段的大门，这是学生日常数学经验逐步向正式数学经验过渡的一个重要阶段。

另一方面，数学高于现实生活，日常数学与学校数学之间是有很大差异的，这种差异表现在多方面。例如有研究认为，日常生活中的数学是一种“复杂的即兴发挥”，而学校数学可以说是按照标准程序进行的，也就是说日常数学具有随机性，而学校数学有自身严密的逻辑性与高度的抽象性[6]。因此，学生的日常数学经验尚须进一步改造才能提升为正式数学经验。

学生的日常数学经验与正式数学经验之间的关系如图1所示。

学生带着自己的日常数学经验走进课堂，在接受数学教学的过程中，思维受到激发，会自觉或不自觉地将自身已有经验与学校数学知识技能等进行比对：二者一致时，学生就能很快掌握新知;二者冲突时，则可能会出现三种不同情况——新知替代原有经验，或与原有经验重整组合，或直接遭到拒绝。前两种情况下学生也能较快形成新的数学经验，但须不断巩固加深才能使之稳定，否则学生可能会为了考试而暂时记住新的知识方法等，但考完后即回到原有经验，但第三种情况下，学生可能在较长一段时间内仍停留在原有日常经验层面。

三、启示

1.赋予学校数学现实意义

如图1所示，当学校数学知识技能等与学生的日常数学经验一致时，学生很快就能掌握新知，而学生的日常数学经验具有较强的现实情境等特点，所以，教师在教学时可以为抽象的数学概念等赋予现实意义，以帮助学生理解与吸收。

例如，当前小学数学教学常常借助道具操作、实物模型等（如点子图、小棒等）进行直观教学，这是一种必要的教学方式。但Resnick等人通过研究發现，直观的道具操作本身并不足以提取与利用学生已有数学经验并基于此进行教学，教师自身还须形成“算术是建立在丰富的意义基础之上”的基本教学态度，并在整个教学过程中注意将数赋予学生乐于接受的现实意义[5]。所以，教学中不仅要考虑教学形式，更要考虑形式背后的意义，否则课堂中可能师生操作得不亦乐乎，但学生也只是回顾了已有的日常数学经验而无提升。比如让学生计算2+17.5=？时，就会有学生算出17.7等错误结果，但如果问学生买作业本花了2元，买书花了17元5角，一共花了多少钱？学生就能根据日常数学经验算出一共花了19元5角，因为钱是小学生熟悉且感兴趣的话题，多数学生已从日常生活中积累了关于钱的数学经验，所以给运算赋予学生熟悉的现实意义，无疑有助于学生理解抽象的计算方法。

此外，教师在教学中设置问题情境时，也要注意结合学生的现实生活背景，如此可以一举两得：第一，可以调动和利用学生的日常数学经验，为学生学习抽象的数学知识搭建支架;第二，可以缩短学校数学与日常生活之间的距离，使学生切身感受到学校数学在生活中的有用性，有助于学生将获得的学校数学经验自发主动地应用到生活中去。

2.分析隐藏在学生错误背后的日常数学经验

如上所述，当学校数学知识技能等与学生的日常數学经验相冲突时，学生会以代替、重组原有经验或拒绝新知等方式解决，在这个过程中，学生免不了会频繁犯一些类似的错误，直至新知完全转化为正式数学经验。

建构理论认为学生是基于自己已有的知识与经验来建构和理解新的知识，这就意味着教师需要关注学生走进教室时所具有的经验，尤其是其中所包含的一些片面的理解、错误的观念等。

一方面，学生所获得的片面的经验会对后期的学习产生负迁移，例如，小数、分数、负数等的运算学习，与学生在生活中积累的数学经验——“相加/相乘会使数变大，相减/相除则会使数变小”会出现相悖之处，尤其是此前这种日常经验还被所获得的正整数运算经验强化。

同样，不严谨的日常数学经验也会给学生日后的数学学习造成干扰。比如，学习“角的认识”这部分知识时，如果呈现图2所示的两组角让学生比较大小，每组都会有学生认为∠1<∠2。

为什么初学角时，总会有学生犯这样的错误呢？根据已有的关于儿童数学概念发展方面的研究，日常生活中有很多这种涉及比较的活动，比如两杯水，水位线越高的水就越多;越长的就越大等，长此以往，就会使儿童形成一种“某方面越……则另一方面也越……”的直觉[7]。换而言之，这种直觉可被看作是学生获得的一种比较稳固的日常经验。

另一方面，学生日常数学经验与正式数学经验相比是有不少“漏洞”的，即比较肤浅。比如，学生从生活中获得了一些关于“0”的认识，知道“0”有“无、没有”的意思，当0+5时0不用考虑，结果依然是5。因此当学习退位减法、乘除法时，就会有学生根据原有日常经验类推得出0×5=5、0-5=5之类的错误结果。

简言之，教师需要仔细分析学生错误背后隐藏的原因，具体问题具体分析，在实施教学活动前，应识别学生已有的经验处于什么水平，再根据学生的实际情况安排有针对性、有层次性的教学活动。同时，教师还要注意不断强化学生获得的新经验，可辅以适量的、不同层次的变式练习等。

3.重视学生的思维过程

有些情况下，学生会借助日常数学经验来解决学校数学问题，虽然可能与学校数学所规定的标准化算法或步骤等不一样，但这并不意味着学生做得不对。比如，有小学生在计算132-47时写成如下：

显然，这种解法与教师所期望的列竖式的方法不一样，但这种解法不能说是错误的。那么学生为什么会这么解答呢？其实结合日常数学经验并不难理解学生的解法，比如购物时会出现整箱拆箱的情况，打比方说一整箱橙子有100个，某人要买47个，但是已拆的箱里还剩32个，所以卖家一般会先给买家32个，还欠15个就再拆一整箱，最后卖家剩85个（100-15）。

从上例可以看到，在实际教学中，教师要尽量给学生提供机会，让学生多说、多表达自己的想法，从而使学生的思维过程外显，尤其是面对学生的错误解法或“与众不同”的想法时，如此教师方能找到问题或关键所在，从而“对症下药”，用不同的方法帮助不同的学生在数学上获得自己的发展;同时应接受学生运用非正式的问题解决策略，引导学生自己发现原有策略的问题或不足，帮助学生进行修正，最终促进学生数学思维向更高、更正式的层次发展。

4.重视数学语言的使用

日常数学语言与正式数学语言之间的冲突也是日常数学经验与正式数学经验冲突的一种表现，比如日常数学经验中的“直线”概念与学校数学中的“直线”概念之间是有很大区别的：前者是不弯曲的、能看见首尾的线，实为学校数学中的“线段”，而学校数学中“直线”虽也是不弯曲的，但却无首无尾。这就导致在刚学习“直线”这一概念时，有些学生较难接受学校数学中“直线”的概念。

数学是靠语言来表达的，这种语言通常有文字、符号和图像三种形式，学生学习数学正是从认识和理解这些语言开始的[8]。根据一些教学实践，掌握不好数学语言的学生，对数学知识的理解能力就会较差，从而影响对数学问题的理解与解答。数学思维的发展离不开数学语言的同步发展，数学语言发展对数学思维发展、数学能力和素质的培养均有着重要的现实意义[9]。

因此，小学阶段的数学教学还应该承担起一个重要的任务，即将学生日常数学经验中的非正式、不规范的数学语言逐步纠正为正规的数学语言，为日后更加深入、愈发抽象的数学学习奠定基础。那么具体怎么处理这两种语言之间的关系呢？一方面，教师可以借助日常数学语言对抽象的数学概念做出必要的解释，以帮助学生很好地理解，但同时还需帮助学生对数学概念的理解从日常意义过渡到严格的数学意义上;另一方面，教师要鼓励学生说出自己对所学数学概念的理解，采取引导的方法，从而帮助学生过渡到正规的数学语言[10]。简而言之，教师自身首先要注意用词准确，板书时注意使用正确的数学符号等，潜移默化地培养学生养成用正确的数学语言来表达数学思维的习惯。

5.重视学生的经验，而非教师的经验

学生的日常数学经验与学生个体所处的环境关系较大，所以，学生所处地域、家庭经济状况、家庭教育程度等都可能会不同程度地影响学生的日常数学经验。这就要求教师在联系学生的日常数学经验时，先要调查清楚学生的现实情况，而不是以教师自己的经验来取而代之。

但是，学生的经验在实际教学实践活动中往往容易被忽视或者未得到应有的重视。有些教师为了节省时间，便根据自己以往的教学经验进行备课，觉得学生这里容易弄懂，那里会是理解难点，等等。诚然，教师的经验也很重要，可以为教师开展教学活动提供参考依据，但归根结底，学生才是学习的真正主人，学生走入课堂时所带有的经验会直接影响到学生学习的效果，而教师的经验是为学生的学习（即学生的经验积累）服务的。杜威曾说过，教育者的任务就是安排一些既使学生不厌恶又能引起学生活动兴趣的经验，这些经验可以促使学生获得未来渴望的经验，所以它们的作用比直接获得适意的经验还要大得多[2]。如此看来，学生的经验才是教师教学活动的出发点。

总而言之，教师若想充分调动与利用学生的已有日常数学经验，帮助每一位学生获得思维提升、数学学习上的发展，其前提是教师须先对学生的已有经验进行充分的调查与了解。

參考文献

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 约翰·杜威.民主主义与教育[M].第2版.王承绪，译.北京：人民教育出版社，2001.

[3] Bishop A J.Mathematics Education in Its Cultural Context[J].Educational Studies in Mathematics，1988，19（02）.

[4] 郑毓信.数学哲学与数学教育哲学[M].南京：江苏教育出版社，2007.

[5] Resnick L B.From Protoquantities to Operators：Building Mathematical Competence on a Foundation of Everyday Knowledge [M].Pennsylvania： Pittsburgh University， 1991.

[6] Strauss C.Reviewed Work（s）：Cognition in Practice：Mind， Mathematics and Culture in Everyday Life By Jean Lave [J]. Contemporary Sociology，1990，19（01）.

[7] Stavy R，Tirosh D.How students （mis-） understand science and mathematics： intuitive rules [M].NY：Teachers College Press，2000.

[8] 郜舒竹.“分公”的启示——数学语言的一般意义与数学意义[J].人民教育，2009（21）.

[9] 邵光华，刘明海.数学语言及其教学研究[J].课程·教材·教法，2005（02）.

[10] 郑毓信，肖红.语言视角下的数学教学[J].课程·教材·教法，2009（09）.

[作者：俞蓉（1983-），女，江苏盐城人，首都师范大学初等教育学院在读硕士研究生;刘效丽（1960-），女，北京朝阳人，首都师范大学初等教育学院副教授。]

【责任编辑  白文军】