高中数学中直线和圆位置关系探究

蒋铭昊

【摘要】我们在学习高中数学的过程中，需要明确学习重点与难点.在学习相关知识的时候，要把握知识原理，对其理论性概念进行分析，进而将其运用到实际解题中.直线和圆位置关系的研究是我们在学习高中数学的过程中需要把握的学习重点，在对这部分内容进行学习时，需要对其位置关系进行明确，将其运用到几何题目的解答中.因此，就需要对直线和圆的位置关系概念进行分析，在实际解题中根据题型确定答题模式，强化学习效用.

【关键词】高中数学;直线与圆;位置关系

在学习直线和圆的位置关系这个单元时，我们首先需要掌握直线与圆的位置关系的判定方式，对其性质进行了解.在学习任何数学知识的过程中，我们都需要建立在基础的性质上，然后对其进行分析，通过自身的学习能力对学习任务进行完成，强化我们的数学解答能力.在对直线与圆的位置关系相关内容进行分析时，我们首先需要归纳概括相关知识点，明确直线与圆的交点问题，增强我们对教材的理解.

一、直线与圆位置关系的判定

在对直线与圆的位置关系进行判定时，首先我们需要掌握简单的判定方法.其主要有两种方法，一是几何法，二是代数法.在利用几何法对直线与圆的位置关系进行判定时，我们需要对圆心到直线的距离进行测量或者计算，根据距离d与圆的半径r的大小进行判定.如果dr，那么直线与圆的位置关系为相离.如果d=r，那么直线与圆的位置关系为相切.这是直线与圆的位置关系的最基本的判定方法，能够将其三种位置关系进行明确的表达.在利用代数法对其进行判定时，需要对直线的方程的实数解进行判断，根据其实数解的个数能够明确其位置关系.我们可以将直线的方程与圆的方程组合起来，如果方程有两组实数解，那么其位置关系为相交;如果方程有一组实数解，那么其位置关系为相切;方程没有实数解的话，其位置关系为相离.因此，对直线与圆的位置关系进行判定的方法比较简单，我们在实际解题的过程中，需要根据题型及解题要求合理利用判定方法，简化答题步骤，强化我们的解答能力.

二、直线与圆位置关系分析

（一）圆上的点到直线的距离

我们在对直线与圆的位置关系进行分析时，需要利用圆上的点到直线的距离进行解答，这也是这个知识点常见的题型.我们经常会遇到要求我们求出圆上的点到直线的距离的题目，在对其进行解答的过程中，我们就可以将其看作直线的垂线段的长，在理解起来就更加简便.比如，求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y+25=0的距离的最小值.我们在解答过程中，首先需要分析圆心到直线的距离，我们可以知道距离大于半径.因此，直线与圆的位置关系为相离.在这个基础上解答，就可以将题目要求看作圆心到直线的距离再减去半径，这就是其距离的最小值.所以，我们可以明确圆心到直线的距离为1，因此，求解其最小距离为：5-1=4.这样我们就能够快速得出答案，圆上的点到直线的最小距离为4.在解答这个题目的过程中，我们能够利用数形结合的思想，对其进行转化，提升解题能力.

（二）截距相等問题

截距相等问题是直线与圆的位置关系的一种重要题型，在对其进行解答时，我们首先需要考虑截距为0的情况.在对截距不为0的情况进行分析时，需要对其符号进行明确，只有符号相同才能对其进行同等类型的解答.比如，求解与圆（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在x，y轴上截距相等的直线的条数.在对其进行解答时，我们首先需要得出圆心坐标（3，3），圆的半径为22，因此，其距离为32，原点的位置为圆外.在求直线截距时，一旦其为0，那么直线过原点.因此，在这个题中，有两条直线符合要求.一旦截距不为0，那么我们可以设所求直线的方程为x+y=a（a≠0）.圆心到直线的距离为22，因此，a=2或者a=10.根据题目要求，a的值有两个，因此，符合要求的直线有2条.所以，这道题的答案为4.在解答这道题的过程中，我们需要理解直线与圆相切时，圆心到直线的距离为半径的长度，利用距离公式对问题进行解决.

（三）直线与圆相交

直线与圆相交主要考查我们对直线方程的求法是否熟悉，让我们综合利用直线与圆的位置关系相关内容对其进行分析.比如，直线l与圆（x+1）2+（y-2）2=100相交于A，B两点，弦AB的中点为（-2，3），求直线l的方程.首先，我们需要通过圆的方程明确圆心坐标，然后对圆心与弦AB的中点进行连接.我们可以利用垂径定理对其进行分析，可以知道直线l与我们需要求的直线位置关系为垂直.这样我们就可以得到斜率乘积为-1，再对弦AB中点与圆心连线的斜率进行分析，得出直线l的斜率.我们可以知道圆心坐标为（-1，2），圆心与弦AB中点的连线斜率为-1.而直线l斜率为-1，过点（-2，3），因此，直线l的方程为x-y+5=0.在这个过程中，我们需要对直线与圆的位置关系进行分析，明确解题重点.

三、结 语

综上所述，在解答解析几何相关问题时，我们需要明确直线和圆的位置关系在这个章节中的重要性.作为一个知识重点及难点，要求我们掌握基本概念，对不同的题型进行分析，灵活运用学习方法，找到解题切入点，增强我们的解题能力，优化解题结构，强化数学学习能力.

【参考文献】

[1]戴荣春.浅谈直线与圆位置关系的题目类型[J].中学数学，2015（11）：55-56.

[2]杨佳.直线和圆的位置关系教学案例[J].课程教育研究，2017（2）：139-140.

[3]田钰.直线与圆位置关系的应用[J].文理导航（中旬），2015（7）：15.