初中数学“锐角三角比”的常见应用及教学策略浅析

徐金

【摘要】近几年上海中考数学试卷中动态几何问题出现比重越来越大，并且在动态几何问题中出现一种新题型，即在图形的变换过程中，探究图形中某些不变因素，它把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起.笔者通过对上海2007—2016年共10年中考数学试卷统计发现，锐角三角比在应用题、等腰三角形、二次函数、圆中出现的次数分别为5次、5次、10次、6次，并通过分析中考题中锐角三角比在上述四方面的应用，与读者一同探索未来上海中考出题的动向和策略.

【关键词】锐角三角比;等腰三角形;二次函数;圆;动态几何学

一、初中数学“锐角三角比”的意義和要求

锐角三角比是初中数学课程内容“图形与几何”部分的一个重要的内容.它对初中课程中的直角三角形、相似三角形、解直角三角形以及高中课程中三角函数有着承上启下的作用.锐角三角比则是直角三角形中的边角关系的研究.对于三角形中的边角关系，学生并不是初次接触，七年级时学生学习了“三角形中大边对大角”这样的边角关系的定性表达，而锐角三角比就是在特殊的三角形（直角三角形）中对于边角关系的定量研究.在相似三角形中，主要是横向研究两个三角形对应边的比的不变性.在锐角三角比中，主要从定量方面研究在形状确定的前提下，一个直角三角形中任意两边的比的不变性.这样的研究线索更加清晰地体现了角度和边之间的相互变化关系，引入锐角三角比后，能够清晰体现出直角三角形中的边和角之间的相互依赖关系，有了这种关系，就能解决生活实际中的许多问题，如测量物体的高、测量两点的距离、有关斜坡的计算、工程设计中的计算，等等.

《义务教育数学课程标准（2016年版）》（以下简称《课标》）中指出：1.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.2.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值.3.由已知三角函数值求它的对应锐角.4.能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.由《课标》可见，初中数学中对锐角三角比的应用还是比较简单的，只要求对特殊三角比熟记，会利用锐角三角函数解直角三角形或者是特殊的等腰三角形和四边形.而在高中数学中对三角函数的学习将会拓展很多，从锐角发展到任意角，从简单的三角函数的定义拓展到两个角之间的和、差、积、商的三角函数的一系列公式，从直角三角形中锐角三角比的定义拓展到一般三角形中的正弦定理、余弦定理，从初中的简单三角比运算拓展到圆锥方程、空间向量的计算及在其他一些复杂题中的求解或证明或在综合问题上的运用.可以说锐角三角比是相似三角形的一种应用的延伸，学生如果能够熟练掌握锐角三角比，对拓展思路和解题速度是个很大的提高，也是对即将进入高中学习三角函数的铺垫，重要性不言而喻.

二、初中数学“锐角三角比”的四种常见应用

（一）十年上海中考“锐角三角比”的考点分析

从统计表中可以发现，上海2007—2016年中考中，锐角三角比主要出现在等腰三角形、函数、圆、生活中的应用等题型中，其中四种题型中出现的次数分别为5次、10次、6次、5次，并且总分呈递增趋势，2016年达到峰值.下文，笔者就从这四方面通过例题浅谈利用锐角三角比解题过程中在思路和计算方面的一些巧用.

（二）锐角三角比在上海中考中的四种常见类型

1.圆中的锐角三角比

此题是以圆为背景，综合考查相似三角形、锐角三角比、两圆的位置关系、方程思想、函数思想、转化思想等数学知识与数学思想，综合性较强.比较以上两种方法，方法一学生比较容易想到，但是计算量比较大，在中考特殊的环境中，增加计算错误的风险，耗时耗力.而方法二通过观察特殊的三角比，得到第三边的比，迅速解一元一次方程，快速简洁，甚是很妙的方法.初三数学一线教师，应多从题型中发现联系，多讲解此种题型，让学生切身体会两种方法的优劣，这样往往可以起到事半功倍的效果.

2.函数中的锐角三角比

本题是2008年上海中考题，该题是以平面直角坐标系、二次函数为平台，考查了坐标几何、锐角三角比、代数方程、数形结合法、分类讨论等知识.解题的巧妙之处在于利用点C的坐标点迅速求出角C的锐角三角比，利用比例式迅速求出两种情况下点D的坐标，思路简洁，过程明晰.如果学生选用一次方程和图中的二次方程联立求解，计算烦琐，很容易算错.笔者发现上海近10年中考中，函数题主要是二次函数试题出现了10次，基本上可以作为固定试题，学生在解这类题是比较容易想到代数方法，在这点上任课教师就应多探索多总结规律，帮助学生多用几何方法，尤其是三角比去解题.笔者相信，只要典型例题重点分析，学生会热爱这种方法，同时对学生解答最后一道压轴题起到映射作用.

3.中考应用题中的锐角三角比

某地下车库出口处“两段式栏杆”如图4所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点.当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图5所示，其示意图如图6所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）.（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.）

本题是上海2013年中考题，从实际生活中来源的一道很好的中考题，该题虽然综合性不强，但学生对“实际问题”心存恐惧，加之通过实际问题迅速转为数学问题，迅速作出相应的辅助线，构造直角三角形，合理利用相应三角比时学生还是存在一定困难，或是由于代错数据，导致出现一些错误.要想顺利、巧妙解决这类题型，教师首先要了解学生，根据学生的实际情况引导他们逐步分析，积累经验.这一过程教师不可操之过急，一定要留给学生独立思考的时间，看清楚，想明白了，就可以正确解题.在上课时，根据学生的情况，教师多抽查学生是否熟悉四种锐角三角比公式，只要多练习该种题型还是比较容易解答出来的.

4.等腰三角形中的锐角三角比

通过统计发现近10中考中解等腰三角形题出现了6次，并且在平时的一模和二模考中也经常出现，是要求学生必须掌握的一种题型.这是上海闸北区2016年一模题，考查学生图形变换，分类讨论的能力，有一定难度，该题图形背景是结合梯形、三角形出的一种题，考查了图形变换、相似三角形、代数方程、分类讨论思想、转化思想，一道很好的综合题，对学生要求较高.此题就是巧妙运用锐角三角比计算，迅速得到答案.在中考中，利用相似三角形、图形运动、三角比问题是越来越常见.这也是近几年上海中考压轴题的一种趋势，关键是掌握等腰三角形三种情况，巧妙利用等腰三角形底角或顶角三角比解题.解决这类问题时，教师一定要专题专讲，多思考出题为何要出这种题，由果索因，多从题型深层次出发，切忌题海战术，应总结规律，强化学生，多想想还有其他方法吗，拓展学生的思路，这样多加训练，学生定会收益良多.

以上是笔者通过四道模考和中考题，对上海中考数学中出现的锐角三角比问题的探讨.同时，笔者从教学实践中认识到，对于简单综合题，大多数学生来讲往往训练有素，教师平时的讲解也比较详尽，因此学生在解题时比较得心应手.而对于复杂综合题，学生乃至教师感到最为棘手：一方面学生由于自身解题能力有限，从而在解题时往往捉襟见肘，同时许多学生对复杂综合题还存在着畏难情绪.就教师本身而言，因自身教学方法的匮乏而感觉学生在学习过程中不得要领，最终也只能以“题海”战术来强化学生“理解”，希望所谓“熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟”的效果出现.正因为如此，所以师生共战“题海”现象在复习阶段特别明显.尽管教师以一些“经典”的，有层次、有坡度、大题量的练习方式增强了综合题的覆盖面并对学生解答综合题有一定的强化与促进作用，但学生在这种“地毯式”的轰炸下，常常疲于奔命，头昏脑涨，处于一知半解的状态，只会机械模仿.只有“举一”之功，而无“反三”之力.因此，难以提高学生的应变能力.

所以，笔者认为与时俱进地对现有教学知识点归纳总结与大胆突破是提高教学效率、解决教学瓶颈的最有效方法.而优化并整合学生已经熟练掌握的简单综合题解题技巧，另辟蹊径地归纳和提升简单综合题的解法，比如在解答函数题时多用锐角三角比解题，不但能使学生经历和体验数学知识的创造和发展的过程，更可以有效地提高学生解复杂综合题的能力.这也是笔者写这篇文章的动力和初衷.

（二）上海数学中考“锐角三角比”的特点分析

三、初中数学“锐角三角比”教学策略浅析

（一）重视基础知识的理解、基本技能的训练、基本方法的掌握的教学

虽然，近两年的数学中考一直在变，试题的新颖性、灵活性越来越强，但是近几年来中考命题事实已明确告诉我们：基础知识、基本技能、基本方法始终是中考数学试题考查的重点.

（二）重视对数学思想的理解及运用的教学

数学能力是学好数学的根本，主要表现为数学的思想方法.初中数学中最常见的思想方法有：分类、化归、数形结合、猜想与归纳等.其中，数形结合思想、方程与函数思想、分类讨论思想等几乎是历年中考试卷（包括外省市中考试题）考查的重点，必须引起足够的重视.

1.分类讨论思想：当面临的问题不宜用统一方法处理时，就得把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案.这种解决问题的方法就是分类讨论的思维方法.

2.“化归”是转化和归结的简称.我们在处理和解決数学问题时，总的指导思想是把未知问题转化为能够解决的问题，这就是化归思想.

3.数形结合思想：

本题考查用数形结合的思想，第3小问中，利用BC∥PD，得到tan∠OPC=tan∠OBC=23，利用几何方法迅速得到t的值，华罗庚老先生也说：数无形时少直觉，形少数时难入微.在数学解题中由数思形，以形促数可以开辟多角度、多层次的解题思维途径.从题目本身看，是“数”和“形”两个方面，从学生能力角度看，则是要考查学生的运算能力和空间想象能力，而其中的锐角三角比往往起到“柳暗花明又一村”的效果.

近几年上海市中考，对数学思想方法的考查常常会出现几种思想方法的综合运用，上两题其实也不是单纯地考一种数学思想方法，而考查几种思想方法的综合运用，其中最典型的题型是压轴题.

此题起点不高，但要求较全面.是一道数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角比相结合的综合性试题.同时，考查了初中数学中最重要的数学思想：数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想.本题融入了动态几何的变和不变，对给定的图形（或其一部分）施行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系.其特点是：注重考查学生的猜想、探索能力;解题灵活多变，能够考查学生分析问题和解决问题的能力，有一定难度，但上手还是容易的.本题有三问，相当于三个台阶，这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口，有利于考生正常水平的发挥.而通过层层设问，拾级而上，逐步深入，能够使一部分优秀学生数学水平得到体现.

因此，在今后的数学教育教学中，化归思想、方程与函数思想、数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想的教学要重视要加强，而不是削弱.

（三）在冲刺阶段教师更要重视学生情意因素的影响

学生的学习需要全部心理活动的积极参与，而其中更需要情感、意志、求知欲、动机等情意因素的参加.这些情意因素构成个体从事学习的动力系统，驱动学生进行积极的学习活动.在上述的情意因素中，动机在情意系统中居于核心地位，它是个体学习动力的主要来源，又是把各种动力因素联系在一起的纽带，直接影响学生的学习行为.中考模拟考一结束，学生正处于学习疲劳阶段，而又马上要投入最后的冲刺阶段，因此教师要注重教学艺术，能调动学生最广泛的情意因素，使学生形成最强大的学习动力，直击中考.同时，初三教师在授课过程中，关注学生已有的经验和兴趣爱好、个性特长等发展特点.创设适合学生的问题情境，帮助学生在学习过程中体验、感悟、建构并丰富学习经验，实现知识传承、能力发展、积极情感形成的统一.教师不要搞题海战术，力争做到：做一题，通一类，会一片.

总之，教学有法，但无定法，复习也如此，不管采取何法，必须以培养学生的分析能力、思维能力、自学能力为目的，同时在复习中要注意规范训练，严格按照中考要求答题，按标准格式答题，纠正答题过程中的不良习惯，对于试卷的错误要认真分析，找出错误的原因和解决的办法，只要方法得当，循序渐进就能提高复习质量，达到事半功倍的效果.

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