导数的复习

靖晶 陈艳宝

高考中导数问题可谓是学生拉开区分度的分水岭.而含参的单调性的讨论问题是重中之重.单调性的问题讨论清楚了，那么极值最值等问题就可迎刃而解.

利用导数求函数单调区间的依据：在定义域范围内，由导数大于0解得的x的区间为函数的增区间;由导数小于0解得的x的区间为函数的减区间.

常见的分类标准有哪些呢？一般的含参的函数单调性的讨论常见的分类标准有：

1.函数类型;2.开口方向;3.判别式;4.导数等于0有根无根;5.两根大小;6.极值点是否在定义域内.

通过以下两个例题进行说明.

例1 讨论函数f（x）=x-1x-alnx（a∈R）的单调性.

分析 根据导数的符号得函数在相应区间上的单调性，先进行求导.

函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=x2-ax+1x2分母是恒正的，只需看分子的符號.由f′（x）=0得x2-ax+1=0.一元二次方程有根无根需看判别式.故而确定了第一个分类讨论的原因：二次函数的判别式.当Δ>0时，a>2或a<-2，方程有两个不等实根.是否需要进一步讨论呢？可以发现此时分子为零的两根记为x1，x2，x1+x2=a，x1x2=1>0，而定义域为（0，+∞），方程的两根符号与a相同，故而确定第二个分类讨论的标准：方程的根是否在定义域内.

1.先求出函数的定义域，再求出导函数，有分母要通分，能因式分解要分解彻底;

2.若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，有可以讨论该参数得0和不得0，最高次项系数是否为0影响的是函数的类型;

3.判断导数等于0是否有根，导数等于0得到的方程若为一元二次方程，可判断其判别式的符号：当判别式小于等于0时，若二次项系数为正，则导数恒大于等于0，函数在定义域内为增函数，若二次项系数为负，则导数恒小于等于0，函数在定义域内为减函数;当判别式大于0时，可以结合韦达定理分析导数等于0的两根与定义域的关系，确定单调区间;

4.导数等于0得到的方程不是二次函数时，根据方程的特点判断有根无根，若有根，再判断其与定义域的关系，若根在定义域内，则根为极值点，再判断定义域内极值点分成的各段区间导数的正负从而得到函数的单调性;

5.若导数等于0，方程有两个根且均在定义域内，当两根大小不确定时，可通过比较两根大小确定讨论的分界点.

【参考文献】

[1]余小芬，刘成龙.对2016年四川卷高考理科10题的研究[J].中学数学研究（江西），2016（1）：12-16.