巧构一线三直角巧解题

谢明辉

基本图形：如图所示，点B，P，C在一条直线上，∠B=∠APD=∠C=90°，我们称这一基本图形为“一线三直角”模型，则△ABP∽△PCD.

点评：一线三直角作为一个基本数学图形，在很多题目特别是中考题中有着广泛的应用.我们在教学中经常遇到此图形，然后利用相似三角形可以解决一类相关问题.很多题目通过构造这一基本图形，能够迎刃而解.下面本人结合自己的教学实践，浅谈利用该基本图形快速有效地解决问题的实例.

一、正方形折叠中的一线三直角

如图1所示，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF.如图2所示，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N.若AD=2，则MN=.

点评 本题以正方形翻折为载体，当正方形的一个直角落在正方形的一边上时，可以在复杂的图形中直接找到到一线三直角基本图形，然后求出相关的量，计算容易、简单.

二、线段旋转中的一线三直角

如图所示，已知∠MON=30°，B为OM上一点，BA⊥ON于A，四边形ABCD是正方形，P为射线BM上一动点，连接CP，将CP绕点C顺时针旋转90°得CE，连接CE，若AB=4，则BE得最小值为.

解析 分别过点P，E作PG⊥BC于，EH⊥BC延长线于H，由于CP绕点C顺时针旋转90°得CE，且PC=EC，则可证明△PGC≌△CHE，可得PG=CH，CG=EH;由已知∠MON=30O°，四边形ABCD是正方形，可得3PG=BG，设PG=CH=x，则BG=3x，则CG=HE=4-3x，BH=4+x，在Rt△BEH中，由勾股定理得BE=（4+x）2+（4-3x）2，由此可得该二次函数的最小值为2+23.

点评 此题为一题多解，另一解法可根据旋转的性质得到全等三角形，然后根据点E的轨迹求出BE的最小值，但很多程度中下的学生难以理解体会这种解法.相比较，本题的解法更加通俗易懂，通过构造一线三直角这一基本图形，运用勾股定理巧妙地将几何问题转化为二次函数的最值问题，学生更容易接受和理解.

三、坐标系中的一线三直角

1.如图所示，点A，B分别在反比例函数y=2x（x<0）与y=4x（x>0）的图像上，且△OAB是等边三角形，则点A的坐标为.

解析 在x轴下方过O作OD⊥OB交BA的延长线于D，分别过点B，D作BF⊥x轴于F，DE⊥x轴于E，由此得到一线三直角基本图形，通过△BFO∽△OED，BF∶OE=OF∶DE=OB∶OD=1∶3，設点B坐标Ba，-4a，所以OF=a，BF=4a，点D坐标为D-43a，-3a.根据中点公式得，点A坐标为Aa2-432a，-4-3a22a，由此得到a2-432a×-4-3a22a=2，解得a=2，a=-2（舍去），所以得到点A坐标为A（1-3，-1-3）.

点评 一般情况下，在坐标系中当有一个是直角的时候，我们可以通过作高线构造一线三直角这一基本图形.本题比较特殊，条件中没有直接给出直角三角形，但由于等边三角形含30°角的特殊直角三角形，所以我们也可以以等边三角形为载体，先构造直角三角形，然后再构造三直角基本图形.

小结 一线三直角基本图形作为初中几何中的常见图形，是解决复杂几何问题的有效手段.尤其在近年来的很多中考压轴题中，很多都涉及该基本图形.教师只要在平时教学中逐步渗透，让学生慢慢积累，学生就能在复杂的图形中提炼出基本图形，体会利用该基本图形解决问题的便捷之处，做到化繁为简.