为什么内能是温度的单值函数？

摘要：热学是普通物理学的重要组成部分，而热能在工程上的应用也十分广泛，所以学好热学具有较高的实际价值。热学的理论部分之间相互联系并且层层递进，对某一理论的仔细分析与深刻认识对于热学的整体学习也有着促进作用。

关键词：统计物理学   热力学   温度

我们在学习普通物理热学部分时常常听到“内能是温度的单值函数”这一论断，有时这一结论也作为理想气体的定义内容之一。内能是能量，而温度是状态参数，将这一论断进一步表述也就是说对于任意一个确定的温度（自变量）都对应着一个确定的内能（应变量）。首先我们讨论的对象是气体，因为热能动力装置的工质大多是气体，其次这一结论的推导过程都需要气体是理想气体，所以可以初步得出当讨论对象是理想气体时才能运用这一结论。下面将分三个步骤仔细分析推导，得出理想气体的内能公式。

一、什么是理想气体

我们都知道气体是由大量分子组成的，其密度一般要比液体和固体小得多，现实中的气体是比较复杂的。理想气体如同质点一样是一种抽象模型，實际上在现实中理想气体并不存在，但是在误差允许范围内一般气体都可以近似认为是理想气体。我们在讨论质点时是忽略微小的次要因素而突出主要因素，这里也用到了同样的思想方法。那么理想气体具有哪些特征？

从宏观上看，实验表明，一般气体在密度不太高、压强不太大（与大气压比较）和温度不太低（与室温比较）的实验范围内，满足理想气体物态方程：

也就是说，如果讨论对象是理想气体，则默认该气体在变化范围内都无条件服从理想气体物态方程，不会超出常态而不再满足该方程。

从微观上看，理想气体具有一定的微观模型，主要表现在两个方面：

第一个方面，理想气体是非常多个质点的无规则运动。

在常态下，气体分子本身线度相比与分子间距离是十分微小的，约是分子距离的1/20。气体分子力的作用距离很短，而且分子间表现为吸引力时的作用力相比于碰撞时很小，所以分子间除了相互碰撞的瞬间外可以认为互不影响。同时气体分子之间以及气体分子和器壁之间的碰撞可以认为是完全弹性碰撞，能量不会因碰撞而损失。上述微观模型表明，理想气体可以看做是一个分子在不断碰撞的自由运动的质点系。

第二个方面，既然分子热运动是一种无规则运动，那么它就具有一定的统计规律性。

气体分子在从非平衡态达到平衡态时经历了分子间或与器壁间的不断碰撞，最终达到热运动平衡，而气体分子质量较轻，受重力影响较小，不难想象，在最终这样一种平衡态中，气体分子应该是均匀分布，也就是说分子数密度处处相等。

某一个气体分子在某一时刻的运动速率与运动方向都是随机的，由此可以得出分子速度在三个维度的平方平均值相等，即：

理想气体的物态方程和微观模型是我们推导以下公式的基础，如果没有这些条件，就不能得出最终的结果。

二、理想气体的压强

对于固体，它对另一物体的压强我们一般认为是稳定的，不变的。那么对于气体而言，从微观角度看，气体分子不断撞击器壁，虽然分子速度大小不一，撞击力度不同，但是分子数足够多，撞击足够频繁，这时候在宏观上所表现出来的力就近似稳定不变，而且几乎处处相等，这就是气体压强的微观解释。下面我们来具体分析决定气体压强的因素。

为方便分析，我们选取一个长方体的容器，里面充满了N个同种气体分子，并且已经达到稳定状态，它的左右两壁面面积为ab，长度为c。下面来研究左右两壁面的压强，此时只需考虑气体分子的水平速度分量。

首先假设容器内只有2个气体分子（它们在水平方向上的速度分量不为0）。如果它们之间不发生碰撞，那么会不断与器壁发生碰撞，对器壁产生冲量。如果它们之间发生碰撞，那么在完全弹性碰撞之后，动量和不变，又因为质量相等，所以速度矢量和不变，两分子与没碰撞的情形相比较，在同一时间对器壁产生同样的冲量。这就表明，不管两分子间是否发生碰撞，它们单位时间对器壁产生的冲量是相等的，这一结论很容易推广到N个气体分子的情形，所以我们研究这一问题时可以认为分子间无碰撞。

对于单个分子，它的质量为m0，它在某一时刻具有的速度是v，垂直于左右两面的分量为vx，它先和右面发生弹性碰撞，其水平动量改变量是2m0vx，器壁受冲量为I0=2m0vx。这个分子来回撞击一次器壁的时间为2c/vx，单位时间撞击的次数是vx/2c，单位时间器壁平均所受冲量即平均受力为：

对于所有分子来说，单位时间器壁平均受力为：

体现在宏观上，器壁所受压强是均匀的，为器壁平均受力除以受力面积ab，即：

上式表明理想气体的压强与分子数密度以及分子平均平动动能有关。分子数密度越大，分子平均平动动能越大，分子撞击器壁程度越剧烈，那么气体的压强就越大，这一结论和我们的直观感受也一致。

这里需要明确几点，虽然这一结论是由特殊的长方体容器推得，但是不难得出，对于任意形状的容器，上述公式仍然适用。气体产生的压强本身是不连续，不恒定的，上式求得的是压强的统计平均值，也就是压强的微观解释，体现在宏观上则是几乎连续而稳定。对于气体内部压强则应是各处均匀而且等于器壁所受压强，因为如果内部放一无体积的器壁，仍能推出与上述一致的压强公式。实验还得出，混合气体的压强等于容器内只放有每一种气体的压强的代数和。

三、理想气体的温度

对于温度的概念，一般的认识是物体的冷热程度，一个物体的温度越高我们就说它越热。那对于理想气体而言它的温度高低代表着什么？上面我们已经导出了理想气体的压强公式（3），而理想气体又是服从理想气体物态方程（1）的，我们将这两个式子联立就能解出温度关于平均平动动能的表达式：

其中k=R/NA=1.38×10-23J/K，是玻尔兹曼常量。这一式子告诉我们，理想气体的温度反应的是气体分子的平均平动动能大小，反过来也可以说温度是气体分子平均平动动能的量度。值得注意的是，这一关系式并不能直接产生，而是因为从微观上导出了气体的压强公式，又结合宏观上理想气体的物态方程间接得出。如果不去考虑具体的数量关系，我们可以说理想气体分子的平均平动动能和温度一一对应，也就是说理想气体分子的平均平动动能是温度的单值函数。

四、理想气体的内能

气体分子内部的能量称为内能。由气体动理论可以知道，气体分子的运动有平动、转动和振动3种。单原子分子只有3个自由度，都是平动自由度;双原子分子具有3个平动自由度和2个转动自由度;三原子以及三原子以上分子具有3个平动自由度和3个转动自由度。对于一般气体，常温下没有振动，也就没有振动自由度，这里理想气体只考虑刚性分子，即不发生振动。

气体动理论又告诉我们，分子能量按照自由度平均分配，由平均平动动能和温度的关系得出每个自由度分配到的能量为1/2kT。所以对于一种具有i个自由度的气体，它的分子平均总动能为：

这样我们就得出分子总动能也只是温度的单值函数的结论，因为对于一种气体分子它的自由度不会改变。而对于理想气体，其内部分子势能相对于动能十分微小，也就是分子勢能可以忽略不计，这也是理想气体的定义之一。那么，对于理想气体，它的内能也就是内部所有分子的总动能之和，即：

上式告诉我们，对于一定量的理想气体，内能与物质的量、自由度、温度有关。而对于某一实际气体，它的物质的量和自由度都是确定的，都可以变成一个常数，只剩下一个变量T。至此，所有的推导得出了一个论断，那就是“内能是温度的单值函数”。

五、结语

根据以上分析，我们得出这样的结论，如果被讨论的对象满足以下三点：

1.该物体是气体。气体具有质量小，密度小的特点，外场对于气体的影响比较小，可以忽略不计，如重力场、地磁场等，气体在短时间内可以保持一个较好的平衡态。

2.该气体是理想气体。服从理想气体物态方程，并且具有一定的微观模型。

3.该理想气体由刚性分子组成。物体内能只包括内部分子的动能并且不考虑分子振动。

那么我们可以作出“内能是温度的单值函数”这一论断。

值得一提的是，虽然需要满足的条件有三条，但在实际应用中的局限性并没有那么大，因为一般气体在常温（或者温度不太高且不太低）、常压（或者压强不太大且不太小）下都能大致满足以上条件，得出的结果误差不会太大。而当气体状态超出常态较多时我们就需要对公式进行一定比例的修正或者用实验的方法测出实验真值。

参考文献：

[1]程守洙.普通物理学[M].北京：高等教育出版社，2016.

（作者简介：顾天赐，苏州大学文正学院在读大学生。）