部分信息下带有负债的均值-方差投资组合问题研究∗

郭 婷 刘宣会 李照琪

（西安工程大学理学院 西安 710048）

1 引言

1952 年，Markowitz 提出均值-方差模型，成为现代投资组合理论诞生的标志。诸多学者对均值-方差模型进行研究。卫海英，邓玮［1］从风险度量方法、理论假定和理论基础三方面，对均值-方差理论存在的局限进行了阐述，给出了均值-方差理论可以从风险度量，模型本身优化以及运用算法求解三个方面优化模型。孙世杰，高岩［2］研究税收、红利和新型交易成本下摩擦市场的多阶段均值-方差模型的投资组合问题，得到了各阶段的最优投资策略解析表达式，给出有效前沿。刘利敏、肖庆宪［3］研究了在股价服从跳-扩散模型下的投资选择问题，利用动态规划原理和凸分析得到了最优投资策略和有效边界。Zhou 和Li［4］利用LQ 技术研究连续时间下的均值方差投资组合问题。经典投资组合理论，假设投资者掌握完全市场信息，是一种理想化的假设，与实际情况不相符合。在部分信息下研究投资问题与实际情况更加贴近。1995 年，Lakner［5］研究了部分信息下终端财富效用最大化问题。Bauerle 和Rieder［6～8］在资产价格过程服从跳扩散过程下，研究了部分信息下期望效用最大化下的最优投资组合问题；Honda，Haussman 和Sass［9～10］研究了在马氏调制收益率下，在部分信息和完全信息下的投资组合问题。段亚军、刘宣会［11］等在部分信息下，考虑了债券和股票价格之间具有一定相关性的均值方差投资组合问题。 Sharpe 和Tint［12］提出负债情形的投资组合问题。杨鹏、王震［13］等在均值-方差准则下研究了具有负债的随机微分博弈。吴安琪，舒慧生［14］考虑跳跃-扩散模型下带负债的最优资产选择问题。周新梅［15］研究了在不允许卖空情况下跳扩散模型的动态均值-方差资产负债问题。吴伟平、高建军和李端［16］研究金融市场所有资产都是风险资产，且风险资产和债务之间具有相关性时，给出最优投资策略和有效前沿的表达形式。李永武［17］等在部分信息下研究时间一致的投资组合问题，在竞争理论框架下给出相应的闭形式的均衡投资策略及相应的值函数。

基于以上研究，我们考虑在部分信息下考虑具有负债的投资组合问题。运用Kalman 滤波理论和非合作博弈的方式处理，得到闭形式的均衡投资组合策略和均衡值函数。

2 模型与假定

设(Ω，Ft，ℙ)是带流的完备的概率空间 ，，右连续且关于ℙ 完备，表示在t时刻获取的信息总和，W1，W2，W3是定义在(Ω，F，ℙ)上的三个1-维标准的布朗运动，其相关系数为ρ1，ρ2，ρ3， 即表示由过去的股票价格生成的信息流。现在假设市场上有两个资产，一个无风险资产（债券）和一个风险，资产（股票）其价格过程分别满足：

其中，r表示债券回报率，σ(t)表示股票的波动率，μ(t)表示股票的回报率，在部分信息下不可观测，满足随机微分方程：dμ(t)=k[δ-μ(t)]dt+βdW3(t) 。负债服从下面跳跃-扩散模型：

α(t)表示负债率，q(t)是负债波动率，用Levy 过程刻画重大事件对负债产生影响，φ(z)表示负债跳跃的强度，且N˜(dz，dt)=N(dz，dt)-η(dz)dt，N(dz，dt)表示Levy 过程在dt时间内，跳跃宽度在dz范围内的跳跃次数，η(dz)dt表示在dt时间内，在宽度为dz的范围内的平均跳跃次数，即η(dz)dt=E[N(dz，dt)]，N(dz，dt)与W1，W2，W3相互独立。假设投资者在t时刻在风险资产上的投资金额为u(t)，在无风险资产投资金额为X(t)-u(t)，那财富过程满足：

定义1（容许策略）投资策略 π={u(t)}0≤t≤T是容许的，如果满足：

1）{u(t)}0≤t≤T是Gt可测的；

2）E∫0T|u(t)|2dt＜+∞ ；

3）随机微分方程（4）有唯一的解。

所有满足上述条件的可容许测略集，用Π 表示。

3 模型求解及主要结果

目标函数为

最优均衡投资组合策略π*，γ表示风险厌恶系数，Et，x，μ[⋅]=E[⋅|Xπ(t)=x，μ(t)=μ]，由于J(t，x，μ) 关 于Et，x，μ[X(T)]非线性的，导致上述问题变为时间不相容的问题（参见文献［18］），Bellman 最优化原则不成立，采用非合作博弈的方式处理问题，首先给出均衡策略的概念。

定义2（均衡策略）可容许投资策略π*是均衡投资策略 ，当对所有u∈R，h>0 ，(t，x)∈成立，其中：

均衡值函数V(t，x)=J(t，x，π*)。

将目标函数进行如下变化：

引理1（验证定理）若目标函数的值函数V存在，且V，g，u*:[0，T]×R×R→R，则一定满足下面广义的HJB系统：

其中g(t，x，μ)=Et，x，μ[XTπ*]，π*是目标函数的均衡投资策略，这一定理是Bjork and Murgoc（i2010）中的一中特殊情况，具体证明可参考文献［18］。

首先运用Kalman 滤波理论将部分信息下的问题转化为完全信息下的问题，即(t)=E[μ(t)|Gt]，由文献［11］可得到，

根据式（5）、（7）、（8），得：

根据式（9）、（10）、（11），广义HJB系统化简为

定理1广义的HJB系统关于u求导，得到：

证明：由于财富过程的线性结构，与有界的形式保持一致，因此可假设

其中b(t)，c(t)，d(t)，B(t)，C(t)，D(t)在定理1中给出，γ是风险厌恶系数。

4 结语

在金融市场是由一个股票和一个债券组成，负债服从一个Levy 过程时，运用卡尔曼滤波理论，及构造求解广义HJB 方程。得到部分信息下带有负债的均值-方差均衡投资策略及相应的值函数。