大型合成孔径望远镜标准化点源敏感性分析

安其昌，张景旭，杨 飞，赵宏超*，曹海峰

(1.中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所，吉林 长春 130033；2.中国科学院大学，北京 100039)

1 引 言

瑞利判据指出一定波长下望远镜的分辨能力与口径成正比。为了获得更强的集光能力，实现对更深、更远、更暗宇宙目标的探索，天文望远镜的口径也随之增加。借助于主动光学与自适应光学技术，不论是空间望远镜还是地基望远镜，其观测能力都得到了空前增长。目前单镜口径已达到8 m量级，由于材料制备，加工工艺以及检测手段的限制，利用整块主镜已经无法更进一步地增加集光能力。在此背景下，拼接镜与合成孔径望远镜成为了目前提高集光能力的两种主要方法[1-3]。

Giant Magellan Telescope(GMT)是由哈佛大学、麻省理工、亚利桑那大学、密歇根大学以及澳大利亚国家大学等单位联合发起的下一代地基大口径望远镜项目，其设计阶段由2003年开始，目前处于实际建设阶段。GMT的工作波段覆盖了极紫外到近红外的广阔区间；其主要科学目标包括了探索类地行星、观测宇宙起源等目前科学界亟需解决的问题。GMT的7块主镜由硼硅酸盐铸造而成，每一块主镜直径均为8.4 m；其集光面积相当于直径为21.9 m的整镜，在近红外波段工作时，其衍射极限相当于24.5 m口径的望远镜。目前我国的合成孔径大口径望远镜尚处于起步阶段，哈尔滨工业大学的研究团队曾建造了等效口径约为500 mm的原理样机，国家天文台与苏州大学也对合成孔径望远镜进行了有益的研究[4-8]。

大口径地基望远镜系统性能评价和误差分配是一个复杂的系统工程，其涉及面广、环节众多、与实际应用需求联系极为紧密。误差分析、分配准则的研究，本质上是建立大口径望远镜科学目标与望远镜实际性能指标之间的关系。不仅如此，性能评价和误差分配实际上是相互关联的，即误差分配本身是一个平衡过程：在既定的性能评价标准下，需要综合考虑系统误差的敏感性和实际加工、生产能力以及成本等因素，进而实现误差的分配。合成孔径望远镜的初衷在于提高建设的集成化与模块化，降低建设成本，为了达到此目标合理的误差分析分配指标与流程都有着至关重要的作用[9-13]。

在此，本文引入标准化点源敏感性(normalized Point Source Sensitivity,PSSn)作为评价指标，对大口径合成孔径望远镜的静态与动态误差进行了分析。与此同时，针对合成孔径望远镜子镜间的相对位置误差存在封闭性的特点，提出了基于“Brownian Bridge”过程的PSSn误差模型。

2 标准化点源敏感性与误差分析

PSSn是利用点扩散函数所有区域的积分平均，同时充分考虑了背景对光学能量传递所带来的影响，故可以全面评价系统的成像质量。PSSn的定义与计算方法如式(1)所示：

(1)

其中，PSFe、PSFt+a为误差的点扩散函数，以及理想望远镜在视宁度影响下的点扩散函数OTFe,OTFt+a为误差的光学传递函数，以及理想望远镜在视宁度影响下的光学传递函数。利用该基本性质，可以选择合适的方式来计算PSSn。

离散孔径的PSSn定义如式(2)所示：

(2)

根据式(2)可得，合成孔径PSF复振幅包络线与单一口径相同，但其内部存在更多的起伏。这导致合成孔径的PSSn相对下降，同时，随着入瞳形状的变化，系统PSSn也会产生相应的变化(在没有光线通过的极限情况下， PSSn下降为0)。同时，由于通光口径形状的影响，利用离散孔径测量所得到的PSSn也存在上限。

粗糙度是光学表面精抛光阶段的评价指标，其相关理论一般只能适用于较小的评价范围。但对于极大口径望远镜而言，根据Jerry Nelson的研究，由主镜局部低阶像差所引起的波前误差对系统出瞳处的影响与小口径元件表面粗糙度类似。因此，可将小口径镜面粗糙度的评价方法应用于大口径光学元件低阶面形分析。

斜率均方根定义为波前斜率的样本标准差。由于斜率均方根和诸多光学指标均有关联，通过斜率均方根，可分析评价尺度与评价结果之间的关系。大口径光学元件在重力印透作用下的面形RMS如式(3)所示:

(3)

其中，ξ为系数，q为单位面积上的压力，M为支撑点数，D=Eh3/12(1-ν)2为刚度模量，E为弹性模量，h为镜面厚度，ν为泊松比，S为面积。

为了适应不同的孔径形状，在此使用总取样点数N代替取样间隔T，代入式(3)。利用基本的几何关系NT2=S，可得斜率均方根的量纲表达如式(4)所示：

σSlo=σRMS/T=

(4)

由式(2)～(3)可以看出，不同的评价尺度下获得的评价结果也不尽相同，下面通过评价指标与评价尺度之间的解析关系，进一步研究误差的分析与分配。

根据Beckmann 与 Spizzichino 对粗糙度的研究，实际的点扩散函数与理想点扩散函数之间存在如下关系，如式(5)所示：

|PSFt+a+e|2=e-ξ|PSFt+a|2+

(5)

(6)

对式(2)～(5)进行分部积分，可得式(7)：

(7)

(8)

(9)

根据Born的研究，结合傅立叶光学相关理论可得衍射极限下的PSF如式(10)所示：

(10)

其中，u,v为衍射空间的坐标，x,y为物空间的坐标。对于圆形的孔径，其点扩散函数如式(11) 所示：

(11)

其中，Q为孔径数量，对于最简化的情况，PSSn如式(12)所示：

PSSnΘ,T=(1-ξ)+

(12)

图1 PSSn与评价尺度T以及积分范围θ的关系Fig.1 Relationship between PSSn and evaluation scale T and integral range θ

系统的动态误差主要来源于系统内部以及外部的振动。由于振动引起的图像模糊所造成的光学传递函数OTF为0阶贝塞尔函数，如式(13)所示：

OTFvib=J0(Aω) ,

(13)

其中，A为抖动的幅值。ω为外界振动的频率，J0为0阶贝塞尔函数。根据光学传递函数的基本性质可得式(14)：

(14)

PSSnΘ,T,A=(1-ξ)+

(15)

另一方面，结合贝塞尔函数的基本性质可得式(16)：

(16)

根据式(16)可得动态误差影响下的PSSn如式(17)所示：

PSSnΘ,T,A=(1-ξ)+

(17)

由于

2AΘ2J0(AΘ)+2Θ2J0(AΘ)J1(AΘ)>0，

可见PSSn对于A是减函数，PSSn与振幅的解析关系如图2所示。根据PSSn随振动的线性衰减特性，可以内插得到任意振动条件下的PSSn。

根据之前的推导，针对已有面形数据进行仿真实验。首先，将波前切割为圆形离散式样，之后，根据式(17)，利用传递函数可以获得在不同振动载荷下的PSSn，如图3所示。PSSn随振动的衰减基本呈线性。据此可以内插得到任意振动条

图2 PSSn与评价尺度T、积分范围θ以及振幅的关系Fig.2 Relationship between PSSn and evaluation scale T, integral range θ and amplitude

件下的PSSn。通过上述方法，可预测系统在不同振动水平下的PSSn。

图3 PSSn与振幅的关系Fig.3 Relationship between PSSn and amplitude

根据之前的分析，使用PSSn作为评价系统误差的标准，同时以概率的标准考虑所有潜在的状态，即可全面分析分配系统的误差。PSSn 是光学传递函数在全部区域的广义平均，充分地考虑了背景对光学能量传递所带来的影响，故可以全面评价系统的成像质量；同时，PSSn具有良好的线性合成特性，可以通过各部分PSSn的乘积，简单、准确地获得多因素影响下的综合误差。

图4 PSSn与子镜刚体位移的关系Fig.4 Relationship between PSSn and rigid body motion of sub-mirror

由于每个合成孔径为大口径波前的一部分，在较小的局部范围内，低阶像差主要表现为Piston 、Tip/Tilt或者凹陷。另一方面，由于测量误差的存在，导致合成孔径之间也存在着一定的相对Piston 与Tip/Tilt 误差。如果保留这些分量会极大影响结果精度。在此，以PSSn为评价标准，使用优化方法，可去除子孔径内的刚体位移。测量误差引起的子孔径tip/tilt误差如式(18)与式(19)所示。由于在每次测量中，Piston，Tip/Tilt 会被去除，故会对结果的不确定度产生影响[14-15]。

(18)

(19)

(20)

其中，λ为以微米为单位的波长，取0.5 μm。斜率均方根的单位为微弧度。

3 基于Brownian Bridge的误差建模

误差分析、分配本身就是一个具有统计学意义的过程。对于误差评价指标而言，不仅需要拥有全面的性能表征能力，同时也必须兼顾误差的统计学特性。从统计学的角度研究PSSn，可以更好地将PSSn作为误差分析分配准则。根据随机过程的观点，如果一个过程在若干步转移之后，以概率1达到某个状态，该过程被称为“Brownian Bridge” 过程，记为B(t)。将不同子系统的PSSn作为随机变量，可以从动态的观点对误差的生成、积累以及传递等一系列过程进行诠释。在不同的边界条件下，利用转移概率矩阵，可以有效利用已获得的误差信息，并对系统的行为进行有效预测。与此同时，在计算系统的统计矩时，不可避免地需要考虑系统误差的概率分布情况。对于大口径系统，传统上假设误差服从高斯分布的独立变量方法，由于没有考虑到误差在传递过程中的边界条件(如封闭误差链)，会造成明显的过估计情况。

首先，对B(t)的定义进行说明，与Wiener过程类似，“Brownian Bridge”过程的相关函数满足式(21)。

(21)

其中，T为以概率1达到某个状态的时间。利用求解随机过程特征值的定义，可得式(22)：

(22)

其中，Ψ(t)为“Brownian Bridge” 过程特征函数，满足式(23),λ为“Brownian Bridge”过程特征值，

(23)

令λ=k2，Ψ(t)=sinkt，在连续时间下定义“Brownian Bridge”如式(24)所示:

(24)

将“Brownian Bridge” 表达为离散过程，即将以概率1达到某个状态的时间T，替换为转移步数N，如式(25)所示:

(25)

(26)

4 结 论

通过引入PSSn提高合成精度，可以更加合理地分配现有误差，减少主观色彩很浓的安全系数；另一方面，由于PSSn评价的全面性，可以适当放宽某些频段的误差限，通过以上两点可以有效地减少误差分析中的”过估计”现象。在不同的频段考虑误差，既符合科学规律又符合经济原则。利用PSSn的合成性质，可将重力印透、大气视宁、抖动以及其他的误差源所引入的PSSn进行合成，进而建立系统的误差模型。从3个方面结合标准化点源敏感性进行了分析。首先，将非离面误差转化为倾斜，并与标准化点源敏感性建立联系。之后分析了热载荷下，镜面球差与标准化点源敏感性之间的关系。最后，利用厚板振动理论，对于非离面风载的影响进行了分析。对于口径较小的元件，使用RMS结合PSSn进行分析评价，可以为PSSn评价方法在实际工程中的应用积累经验，但是对于大口径系统，使用RMS则难以合理地表现各个误差源对集成后系统性能的影响。本文的工作对大型合成孔径望远镜建设有着重要意义，同时对于类似的大口径系统的误差分析与检测也有着一定指导意义。