一次函数的实际应用分类例析

吴婷婷

[摘   要]基于一次函数的图像应用类问题、表格信息类问题和文字信息类方案最优问题三类问题探讨一次函数的实际应用，以提高学生解决实际问题的能力.

[关键词]一次函数;图像;表格;文字

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）17-0033-02

一次函数在日常生活中有着广泛的应用，也是中考数学的命题热点，主要涉及以下三类问题：图像应用类问题、表格信息类问题和文字信息类方案最优问题.下面举例说明.

一、图像应用类问题

这类问题要求考生从一次函数图像中读出有关信息，并利用这些信息解决问题.

[例1]学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地.两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图1所示.

（1）根据图像信息，当t=________分钟时甲、乙两人相遇，甲的速度为________米/分钟;

（2）求出线段AB所表示的函数表达式.

解析：（1）根据图像信息，当[t=24]分钟时，甲、乙两人相遇，甲60分钟行驶2400米，所以甲的速度为[2400÷60=40（米/分钟）];

（2）因为甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行并同时出发，在[t=24]分钟时两人相遇，所以他们的速度之和为[2400÷24=100（米/分钟）]，故乙的速度为[100-40=60（米/分钟）]，乙从图书馆回学校的时间为[2400÷60=40]（分钟），又[40×40=1600]，所以A点的坐标为（40，1600）.

设线段AB所表示的函数表达式为[y=kt+b]，

因为 A（40，1600），B（60，2400），

所以 [40k+b=1600 ，60k+b=2400 ，?k=40 ，b=0 .]

故线段AB所表示的函数表达式为y=40t（[40≤t≤60]）.

点评：本题主要考查一次函数图像的实际应用，利用路程、速度、时间的关系和待定系数法来确定函数的解析式，难度一般.解答这类问题的关键是读懂题目信息，并从图像中获取有关信息来解决实际问题.

二、表格信息类问题

这类问题以表格形式给出，要求考生利用表格数据建立一次函数，并利用一次函数解决相关问题.

[例2]数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度     -20 ℃时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到-4 ℃时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至-20 ℃时，制冷再次停止……按照以上方式循环进行.

同学们记录了44 min内15个时间点冷柜中的温度y（℃）随时间x（min）的变化情况，制成下表：

[时间[x]/min … 4 8 10 16 20 21 22 温度[y]/℃ … -20 -10 -8 -5 -4 -8 -12 时间[x]/min 24 28 30 36 40 42 44 … 温度[y]/℃ -20 -10 -8 -5 -4 [a] -20 … ]

（1）通过分析发现，冷柜中的温度y是时间x的函数.

①当4 ≤ x [<] 20时，写出一个符合表中数据的函数表达式;

②当20 ≤ x [<] 24时，写出一个符合表中数据的函数表达式;

（2） [a]的值为;

（3）如图2，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当4 ≤x ≤ 44时温度y随时间x变化的函数图像.

解析：（1）①因为4 ×（-20）= - 80，8 ×（-10）= -80，10 ×（-8）= - 80，16 × （-5）= -80，20 × （- 4）= -80，所以当4 ≤ x [<] 20时，[y=-80x].

②当20 ≤ x [<] 24时，设[y]关于[x]的函数解析式为[y=kx+b]，将（20，-4）和（21，-8）代入上面函数解析式，得

[20k+b=4 ，21k+b=-8 ，?k=-4 ，b=76 ，]所以[y=-4x+76].

（2）从表格中的数据变化规律，可知该冷柜的工作周期为20 min，因为当x = 42时，与x = 22时的y值相同，所以[a] = -12.

（3）描点、连线，画出函数图像如图3所示.

点评：函数的表示方法有三种：图像法、列表法和解析法.本题运用列表法，借助表格数据表示函数关系.本题归根结底是考查一次函数的表示法和意义.

三、文字信息类方案最优问题

利用一次函数解决生活中的最优化问题，最能体现数学的实用性，因此此类问题在中考命题中“出镜率”极高.

[例3]江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称，甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲、y乙（单位：元）与原价x（单位：元）之间的函数关系如图4所示.

（1）直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式;

（2）“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾能更省钱？

解析：（1）设[y甲][=kx，]把（2000，1600）代入，得[2000x=1600]，解得[k=0.8，]则[y甲][=0.8x;]当[0

当[x≥2000]时，设[y乙][=mx+n]，把（2000，2000），（4000，3400）代入，

得[2000m+n=2000 ，4000m+n=3400 ，?m=0.7 ，n=600 ，]

所以[y乙]=[x ，（0

（2）当[00.7x+600]，解得[x>6000];若到甲、乙两商店购买一样省钱，则[0.8x=0.7x+600]，解得[x=6000].

故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更省钱;当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱;当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样.

点评：这类问题往往涉及比大小，因此解答时需用到分类讨论思想和一元一次不等式，体现了一次函数与一元一次不等式之间的内在联系.

从以上三类问题不难得到，用一次函数解决实际问题的一般步骤为：首先，读懂题意，设出待求问题中的变量;其次，建立一次函数关系式模型;第三，确定自变量的取值范围;最后，将一次函数与方程或不等式（组）结合，从而解决实际问题.

（特约编辑 安    平）