一节函数最值课教学赏析

郑敏　董涛　郑晓颖

函数最值课怎么教？这是青年教师非常关注的问题.笔者近期听了一节印象深刻的高中函数最值课.该课条理清晰、逻辑清楚、层次递进、流畅自然，体现了高中数学教学的典型特征.以下笔者将评析这节课的关键教学设计.并以该课为例，进一步探讨高中数学课的典型特征.

下面走进汪老师的课堂：

1 教学目标预设下的自学

请同学们阅读课本，并解决以下问题：

①什么是函数的最大值、最小值？

②最大（小）值的几何意义是什么？

③画出几个基本初等函数的图象，讨论它们的最值.

④怎样求函数的最值？

评析明确学习目标，是提高数学教学质量的首要条件.在课堂中，汪老师在充分分析课程标准、教材内容、学生认知特点和教学辅助手段之后，结合多年的教学经验，用规范的语言将课堂目标展示在黑板上.预设性教学目标引导着学生阅读课本，使学生的阅读有更合适的指向性，由被动学习的状态转变为积极主动的学习，潜移默化中提高学生的数学语言阅读能力和自我总结能力，也促进了教学活动的完成，提高教学活动的效果和效率[l].

2 函数最值概念处的多角度理解

学生的概念理解和应用水平是衡量教学质量高低的最重要标准.但是很多人对于函数最值的概念经常忽视.在汪老师课堂中，首先在学生自学的基础上，从最值的两个条件出发深刻理解函数最值概念.再通过几个鲜明的例子，具体、形象的将函数最值的注意点指出.即检验学生课堂阅读能力，同时也轻松的化解最值概念理解的误区.

问题1 在图1中1是不是最小值？为什么？

问题2 函数的最值只有一个对吗？

3 课本例题的梯度教学

课本中的每一道例题，都是教材编写专家反复论证、推敲确定下来的.题目的选择既是知识的经典运用，也是数学思维训练的好素材，还蕴含着基本的数学思想方法和丰富的背景[2].其解答也具有一定的示范性和启发性.下面一起感受汪老师怎样玩转这些高教学价值的课本习题.最大值和最小值.

解设x，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且X

设任意2≤xi

分别取得最大值与最小值，

即在x=2时，f （x）取得最大值2.

即在x=6时，f（x）取得最小值0.4.

评析汪老师在教学中，不是对照课本简单阐述其解答，而是通过在黑板上，一步步详细地解题的过程，深化利用单调性定义求函数最值的思想方法.并强调要严格按照这个解题规范来解答.很好地达到了课本例题指向性和示范性的作用.

由Xlo，XI，x2的地位相等，怎么选取x1，x2使得（x1-I）（X2-1）能判断正负.<1时，X2-XI>o，（x1-1）（X2-1）>o，于是f（XI）-f（X2）>0，即f（xl）>f（X2），则函数f（x）

当1o，（x1-I）（X2-1）>o，于是f（XI）-f（X2）>0，即f（xl）> f（X2），则函数f（x）

评析在本题的练习中，汪老师巡视课堂，点了3个学生去黑板演示.生l在开始判断处就出现错误;生2判断对了，但是没有将最值求出来;生3完整地完成此题，但是格式不规范.汪老师一句X1，x2的地位相等，将学生的疑惑解决，开始了分区间的讨论.为分段函数的单调性解决打下基础.同时此变式将函数的定义域扩展到全体实数，让学生感受到由特殊到一般的思想.

的图象吗？

评析在课本例题的基础上，寻找不同的问题解决方法.从最值的几何意义出发来解决最值的问题.通过数形结合的合理展示，将函数无最值的结论清晰地向学生展示.

上单调递减，求以的取值范围.

解法1（用单调性求最值）设Xl，x2是区间（1，+∞）上的任意两个实数，且X1

由lo，x1，x2的地位相等，怎么选取X，X2使得（x1-a）（x2-a）>0，

当以≤1时，（x1-a）（x2-a）>0，

于是f（xi）-f（x2）>0，即f（xl）> f（x2），

综上所述：以的取值范围为（一∞，1].

的取值范围为（一∞，1].

总结 求函数最值分两种方法：

（l）基本初等函数法：

（2）定义法：函数单调性解决，

评析 教学过程中汪老师充分发挥课本例题的教学功能，从多方面多角度去思考问题，寻找不同的问题解决途径，达到以少胜多的目的，在相关的变式练习中，选择的练习思维过程具有合适的梯度，逐步增加创造性元素.同时引导学生对课本典型例题解法的总结、回味与“提炼”.有利于学生概括各种解题技巧或从不同角度更换解题的技能和方法.能够做到吃透一道题，掌握一类题，悟出一些方法、道理，让学生从题海中解放出来[3].

4 高中数学课的特征

国外学者对中国数学课堂的研究发现中国的数学课堂有以下几个优点：（1）多角度理解知识;（2）有层次地推进教学;（3）寻找不同的问题解决途径.这几点也正是汪老师对典型的中国式数学教学魅力的体现.

4.1 多角度理解知识

中国留美学者马力平的研究表明：在学科知识的“深刻理解”上，中国教师有明显的优势.在数学知识的教学过程中，中国教师更注重对概念、原理进行多角度的理解.在本节课中汪老师从以下几个角度对函数最值进行多角度的解释：（I）通过学生自学，感受经验层面、描述性层面函数的最大（小）值，不是严格意义上的数学定义;（2）经历从图形表征到自然语言表征，最后到形式化定义的形成过程，以达到对最值概念的实质性理解.使学生能够准确表达与运用数学语言，包括文字语言，符号语言和图形语言;（3）通过非本质变式的图形使学生掌握最值的概念本质属性，使学生对概念理解更透彻.从而能迅速、合理地完成相关的运用.也能够进一步完善学生认知结构中的知识系统性.

4.2 变式推进教学

美国密歇根州立大学彭恩霖教授根据对中国数学课堂教学多年实地考察与研究，把中国教学法描述为“鉴赏家模式”.中国课堂由浅入深地层次推进的教学方式给她留下了深刻印象.从汪老师针对课本例题的变式我们就可以看出，她的课堂强调突出重点，又分小步教学，定义域从特殊到一般，从具体函数到含参函数，不断为学生搭建学习和掌握数学知识和技能的阶梯，帮助学生把一个大难题分为若干小问题，由易而难，一个台阶、一个台阶地学习前进.同时汪老师的课堂提问也是循序渐进的.她善于用不同难度的题目对不同程度的学生发问，让每个孩子都有成就感，并且真正掌握知识要点.

4.3 寻找不同的问题解决途径

在汪老师的课堂中，她一直强调不要害怕错误，鼓励学生提出自己的各种想法.让学生进行主动的探索，然后大家一起探讨不同的问题解决途径的优劣，找出适合的通法.通过不同途径的思维展示使学生真正将新知识纳入自己的认知系统中.

汪老师的这节课让笔者深深地感受到中国数学

教学的魅力，希望通过中国数学课堂的特点，使孩子们在数学中学有所成.

参考文献

[1]孔冬良，數学课堂因合理的目标预设而精彩[J].新课程学习（上），2014（11）：4

[2]徐学锋，充分利用和开发课本例题和习题资源，搞好高中数学教学[J].中学生数理化（学研版），2014 （9）：12

[3]马雄飞，从一题多解看高中变式教学策略[J].数理化学习（高中版），2014 （7）：49-50