基于CCPM-MPL表达方法的缓冲区设置方法

郝可可

摘要：由极大-加线性（Max-plus Linear， MPL）表达和关键链项目管理（Critical Chain Project Management， CCPM）结合而成的关键链项目管理-极大-加线性（CCPM-MPL）表达方法兼备了两种工具的优势，逐渐应用于施工项目管理中。但是当前CCPM-MPL表达方法仅使用缺乏数理依据的剪切法计算缓冲区，缓冲区尺寸偏大。本文在描述Max-plus代数的基础上，为计算结果更为合理的缓冲区计算方法——根方差法设计Max-plus代数表达式，丰富了CCPM-MPL表达方法的研究内容。

Abstract： The CCPM-MPL representation， integration of max-plus linear representation （MPL） and critical chain project management （CCPM）， combines the advantages of the two tools and is gradually applied in construction project schedule management. However， the cut and paste method （C&PM） used to calculate time buffers in the current CCPM-MPL representation research framework is lack of mathematical basis， causing buffer sizes to be too large. In this paper， max-plus algebra is described first and then the max-plus algebraic expression is designed for the root square error method （RSEM）， a more reasonable method for calculating time buffers， which will enrich the research content of CCPM-MPL representation.

关键词：缓冲区;关键链项目管理-极大-加线性表达方法;关键链项目管理;极大-加线性代数

Key words： buffer; critical chain project management-max-plus linear representation;critical chain project management;max-plus Algebra

中图分类号：TU71                                      文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2019）08-0003-04

0  引言

Max-plus算法诞生于二十世纪八十年代，由法国国家信息与自动化研究所Max-plus工作小组提出[1]。该算法作为系统控制理论的研究分支，采用矩阵的形式表达系统元素间的逻辑关系，以Max-plus代数表示离散时间系统（Discrete event systems， DES）演变的计算公式。使用Max-plus算法可以构造具有多个非并发、同步和并行处理的任务结构的系统。因为MPL与现代控制理论中的状态-空间表达相类似 ，该方法目前已广泛应用到模型预测控制[2]、自适应控制[3]和项目管理[4]等控制相关理论中。关键链项目管理思想是基于约束理论（Theory of Constraints， TOC）发展而成[5]。TOC理论由Goldratt博士提出，该理论自诞生起便受到了学术界的广泛关注，并迅速在各行各业中得到了广泛应用[6]。关键链项目管理技术是传统关键路径法、计划评审技术的进一步发展，被业界普遍认为是较两者更为先进科学[7]。该理论认为资源约束和时间约束对于一个项目的进展同样重要。针对资源、人的行为模式等不确定性因素，CCPM通过在进度计划上相应位置设置缓冲区以对项目中各种不确定性因素进行聚合管理，削弱其对项目进度的影响[8]。而关键链即为插入各种缓冲区后所形成的关键路径。关键链项目管理中缓冲区主要有三种：①项目缓冲区（Project Buffer，PB）。设置于进度计划的尾部以避免关键路径上工序出现问题而导致的工期延误;②接驳缓冲区（Feeding Buffer， FB）。设置于非关键路径汇入关键路径的关键工序之前，用以避免该非关键路径工序出现问题导致后续关键工作延后进行;③资源缓冲区（Resource Buffer， RB），放置于链路上关键资源发生变动的紧前紧后活动之间，用以提示资源准备，不消耗时间。

2010年，Yoshida等人[9]首次将Max-plus代数和关键链项目管理相结合，形成了关键链项目管理-极大加线性表达方法，该方法以简单的Max-plus代数有效计算出具有鲁棒性的进度计划。之后Goto等人[10][11]在此基础上再一次展开研究，对此框架进行有益的补充，解决了资源受限情况下使用CCPM-MPL方法进行项目进度计划安排的问题。CCPM-MPL是一个高效的项目进度管理方法，它以统一的方式将项目中的多个输入和輸出纳入项目进度安排之中，使用Max-plus算法将施工项目活动间复杂的逻辑关系转化为简单的基于矩阵的运算，因此大幅度降低了计划生成的计算荷载，使得其对于大型复杂工程也同样适用[12]。

但是CCPM-MPL方法目前仍有待完善，該方法在计算缓冲区时采用最为简单的剪切法，而剪切法缺乏数理支撑，往往高估了项目工期，导致时间和资源的浪费。与之相对，基于大数定理和中心极限定理的根方差法已被证明是较剪切法更有效得缓冲区计算方法[13][14]（Shi et al. 2012， Roghanian， 2017）。本文将在描述Max-plus代数和调度过程的基础上，设计根方差法下的缓冲区Max-plus代数表达式，最后以算例验证所设计公式的可行性。

1  基于CCPM-MPL表达方法的基准进度计划生成

4  结语

针对现有CCPM-MPL研究缺乏RSEM法下缓冲区计算max-plus代数表达式的缺陷，本文在对Max-plus代数描述的基础上，通过在进度计划末端添加一个虚拟活动构造了TP矩阵，设计了RSEM法下项目缓冲区计算max-plus代数表达式;接着拓展了前人的研究，构造了RSEM法下接驳缓冲区计算max-plus代数表达式。最后以一个算例演示了使用CCPM-MPL方法生成项目进度计划生成过程，验证了所提出方法的可行性。此外，仍要指出的是：使用传统的方法计算接驳缓冲区时，某关键活动前的接驳缓冲区的大小取与其连接的多条非关键链路所计算活动安全时间平方和的平方根的最大值，与此相区别，本文方法所求取的接驳缓冲区是该关键活动多条非关键链路中活动数量最多的那条的各项活动安全时间平方和的平方根。

参考文献：

[1]Cohen G， Gaubert S， Quadrat J. Max-plus Algebra and System Theory： Where We Are and Where We Go now[J]. Annual Reviews in Control， 1999， 23： 207-219.

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[3]Menguy E ， Boimond J L ， Hardouin L ， et al. A First Step Towards Adaptive Control for Linear Systems in Max Algebra[J]. Discrete Event Dynamic Systems， 2000， 10（4）： 347-367.

[4]Goto， H.， Masuda， S. Monitoring and scheduling methods for MIMO-FIFO systems utilizing maxplus linear representation[J]. Ind. Eng. Manag. Syst. 2008， 7（1）： 23-33.

[5]Goldratt E M. Critical chain： A business novel[M]. Great Barrington， MA： North River Press， 1997.

[6]Wang L . Study on Project Management Based on Critical Chain Management and Heuristic Method[J]. Lecture Notes in Electrical Engineering， 2014.

[7]Paprocka I ， Czuwaj W . Location Selection and Size Estimation of Resource Buffers in the Critical Chain Project Management Method[J]. Applied Mechanics and Materials， 2015， 809-810： 1390-1395.

[8]Zhang A L ， Geng T T . Study on the Schedule Management Methods of Projects Based on Critical Chain Technology[J]. Applied Mechanics and Materials， 2014， 488-489： 4.

[9]Yoshida S ， Takahashi H ， Goto H . Modified Max-Plus Linear representation for inserting time buffers[C]// IEEE International Conference on Industrial Engineering & Engineering Management. IEEE， 2010.

[10]Goto H ， Truc N T N ， Takahashi H . Simple Representation of the Critical Chain Project Management Framework in a Max-Plus Linear Form[J]. Sice Journal of Control Measurement & System Integration， 2013.

[11]Goto， Hiroyuki. Forward-compatible Framework with Critical-Chain Project Management Using a Max-Plus Linear Representation[J]. OPSEARCH， 2016.

[12]Goto， H.， Takahashi， H.. Fast Computation Methods for the Kleene Star in Max-Plus Linear Systems with a DAG Structure. IEICE Trans. Fundam， 2009， E92-A（11）： 2794-2799.

[13]Shi Q， Wang Y T， Gong T. An Improved Approach for Project Buffer Sizing and Evaluation. Systems Engineering-Theory & Practice， 2012， 32（8）： 1739-1746.

[14]Roghanian E， Alipour M， Rezaei M. An Improved Fuzzy Critical Chain Approach in Order to Face Uncertainty in Project Scheduling[J]. International Journal of Construction Management， 2017， 18（1）： 1-13.