基于数学排队论模型的通信网应用分析

黄 琳

（湖北工业职业技术学院，湖北 十堰 442012）

关键字：数学模型；排队论；通信网应用

0 引 言

排队是一种生活中常见的现象，如早晚高峰排队乘车、排队购票等。通信网的运行过程中，由于服务器资源有限，如果出现通信高峰，也会产生排队现象。此时要充分考虑用户的耐心，尽可能地减少用户的排队等待时间，避免用户放弃使用服务。数学排队论模型为通信网信息交换机制的优化提供了新的方法。

1 数学排队论模型的构建

早在1909年，丹麦数学家A.K.埃尔朗就提出了排队论模型的概念，当时被称为话务理论。A.K.埃尔朗通过对市内电话占线的现象进行观察，在热力学的统计平衡理论启发下，尝试建立话务统计平衡模型，得到了一组递推状态方程，这就是著名的电话损失率方程。20世纪初期，电话损失率方程一直是电话系统设计采用的重要模型公式。20世纪30年代后，前苏联、瑞典、美国及英国等国家的研究者纷纷对当时的话务理论进行研究，加快了排队论的完善。20世纪70年代后，排队论模型通过引入有限后效流、生灭过程、马尔科夫链理论及分类方法等，逐渐得到了完善，能够解决各种排队问题。此时人们逐渐开始将研究焦点转移到网络排队问题方面，促成了现代排队论的形成[1]。数学排队论又称为随机服务系统理论，主要对系统服务时间进行统计研究，确定等待时间、忙期长短及排队长度等统计指标，根据统计学规律对系统结构或服务机制进行改进，通过重新组织服务对象等方式，提升系统服务效率[2]。

2 通信网信息交换机制

通信网是利用交换、传输设备将网络中分散的用户终端连接起来，并实现信息交换目的的网络。最基本的通信网形式就是点对点通信连接，但现在一般意义上的通信网不包含这种方式，而是指多个终端设备在交换系统下按照一定拓扑结构进行连接和通信的网络。通信网的三要素就是终端设备、传输通道及交换设备。现实中的通信网是一个非常庞大的网络，需要借助数学模型对网络通信机制进行设计和优化，用数字和符号建立各要素之间的组成关系，并采用预测模型、优化模型及描述模型等保证通信网的实际使用性能能符合用户的需求。

排队论模型属于系统描述模型，针对拟定的组网方案，分析是否能够达到各项预期指标，包括系统吞吐量、时延、呼损率及可靠性等。由于通信网设计是按照几何拓扑学原理进行组网，系统内的数据流量十分庞大，在采用排队论模型分析通信网流量使用情况时，分析过程并不简单。排队论模型的主要应用优势是可以准确地分析各节点、链路中的流量，指导设计人员对通信网信息交换机制进行优化。通信网中的排队现象与商业系统中的顾客排队现象具有一定相似性，由于服务台数量有限，当顾客源的数量规模超过服务台总数后，就需要排队等候服务，具体模型如图1所示。如果通信网信息交换机制不合理，对系统服务资源分配及优先级设定存在问题，则会导致排队等候时间过长，超出顾客的等待极限，进而出现顾客损失[3]。

3 数学排队论模型在通信网中的应用

3.1 排队系统分析

利用数学排队论模型对通信网进行设计优化，需要对通信网排队系统进行分析。通信网排队系统即网络服务系统，由服务器和用户终端等组成，相当于商业系统中的服务台和顾客。通信网中，用户终端访问服务器的时间和对服务资源占用的时间都是随机的，分析过程中，可将排队系统分解成输入过程、到达规则、排队规则、服务器结构、服务时间及服务规则等部分。需要协调用户需求与通信网系统建设需求，对排队系统进行优化设计。其中，输入过程主要考察用户达到服务器的规律，主要采用相继两名用户的到达间隔时间进行描述，服从随机分布。排队论模型采用负指数分布方程对其进行描述，即P(T≤t)=1-e-λt。其中，λ为用户期望平均达到率，其倒数即为平均到达间隔时间。一个大型通信网中通常包含多个服务器，可采取串联排列方式，也可采取平行排列方式。由于用户服务器占用时间也是随机的，同样采用负指数分布进行描述，即P(v≤t)=1-e-μt(t≥0)。其中，μ为平均服务率，其倒数为平均服务时间。

图1 商业系统中的排队模型

3.2 排队系统分类

通信网的排队规则可分为三种类型。第一，等待制。用户访问服务器时，如果所有服务器均被占用，则用户要进行排队等候，可采取先到先服务、随机服务及优先权服务等机制。第二，损失制。系统为用户提供的排队等待空间有限，超出容纳人数后，用户必须离开系统。第三，混合制。等待制与损失制的结合，设定等待空间上限，并采取等待制中的规则，为排队用户分配服务资源。对系统排队机制进行研究时，如果充分考虑系统的三大组成要素，即用户终端、传输通道及交换设备，那么可能得出无穷多种排队系统类型。因此，实际分类分析过程中，只考虑系统的主要特征。目前，常用的方法是由英国数学家肯德尔提出的一种分类方法，具体表示为x/y/z。其中，x为用户相继访问服务器的间隔时间，y为服务时间分布，z为并列服务器数量。分析过程中，需要使用的分布符号主要包括负指数分布（M）、k阶埃尔朗分布（Ek）及一般随机分布（G）等。其他分类特征，可在该模型的基础上进行描述，如描述用户源是有限源或无限源等。采用这种分类分析方法，可使通信网的排队求解问题得到简化，同时能够最大化地反映出系统主要特征，保证分析结果的合理性。

3.3 排队问题求解

利用数学排队论模型对通信网中的排队问题进行求解，主要是为了研究系统运行效率和服务质量，从而找到有效的系统优化措施，在尽可能满足用户需求、优化用户体验的前提下，减少服务器资源的投入，从而节省通信网的建设成本。问题求解过程中，可采用6个数量指标对排队系统模型进行衡量和评价。其中，系统负荷水平（p）反映的是服务器在满足用户实际使用需求方面的衡量指标，系统空闲率（p0）反映的是系统处于无访问状态的概率。等待队长（Ls）用于描述正在服务与等待服务的用户总数，队列长（Lg）用于描述等待服务的用户数量。逗留时间（Ws）是用户在系统中的平均停留时间，等于平均服务时间与平均等待时间之和，等待时间（Wg）则是用户的平均排队时间。在一个最简单的排队系统中，可采用表1的公式计算上述指标。系统越复杂，计算公式也就越复杂，可采用计算机仿真方法，对通信网系统排队问题进行求解。

3.4 通信网设计优化

通过采用排队论模型，可以准确地根据通信网络结构计算出排队系统的各项指标，从而反映出系统性能。对通信网进行优化设计时，终端设备数量已经给定，网络结构设计优化主要是指对传输通道和交换设备的优化配置。需要充分考虑业务量分布状态、系统稳定标准及系统费用比等因素，合理选择网络机构形式。重点根据排队论模型的分析计算结果，对排队系统和服务机制进行优化，合理选择服务器的连接方式，并通过选择合适的服务机制，包括设定优先级等，让用户的平均等待时间尽可能小，从而减少用户损失，提升用户满意度。

表1 简单排队系统的指标计算公式

4 结 论

数学排队论模型在通信网中的应用可以为通信网的设计优化提供依据。利用排队论模型的计算公式及方法，可以确定排队系统的关键指标，以评价系统。综合考虑用户等待时间、用户体验以及系统建设成本，确定最佳的组网方案及通信服务机制，以有效提升通信网建设的综合效益。