铝合金车身平台的基础性能关联性研究*

王震虎，夏二立，张松波，邱飒蔚，李落星

（1.湖南大学，汽车车身先进设计制造国家重点实验室，长沙 410082； 2.湖南大学机械与运载工程学院，长沙 410082；3.重庆长安汽车欧尚研究院，重庆 400023）

前言

现阶段各大车企越来越重视“平台化”概念，汽车生产平台化不仅能降低成本，提高开发效率，而且能缩短开发周期，实现各车企旗下各品牌之间的技术共享，提升品牌竞争力。随着国家对电动汽车的重视，铝合金轻质车身受到各大车企的青睐，铝合金车身平台开发成为研发热点。在铝合金车身开发的前期策划阶段，各项基础性能目标和轻量化目标的确定是汽车行业的难点，目标值的合理性直接与成本紧密相关，也对开发车型的市场竞争力产生重大影响。众所周知，轻量化与各项基础性能之间是一对矛盾统一体，性能目标的最佳方案便是两者平衡的结果。若在确定目标时把轻量化和各项性能分开考虑，可能导致目标设定的不合理，因此深入研究车身刚度、模态与轻量化系数之间的关系对车身的性能目标设定有着重要的意义。

国外对上述问题的内在联系已经开展了大量研究。比较有代表性的是Griffiths等［1-2］从线性系统的静力学理论和模态理论出发，得出各阶频率下结构柔度的计算方法，然后基于简支梁和矩形框架进行柔度分析，发现简支梁的1阶弯曲模态对整体静态柔度的贡献量最大、矩形框架的1阶扭转模态频率下的柔度与结构的静态扭转柔度值非常相近的事实，由此得出简单结构的静态柔度与1阶模态频率下的柔度近似相等的结论。同样的，Wahyuni等［3］从能量的角度研究对结构的整体静态刚度（柔度）与各阶模态参量之间的关系进行了研究，并运用简支梁模型和简单的建模结构进行两者关系的验证后，提出对于线性无阻尼结构，总的能量等于每一阶模态的能量之和，是静态柔度与模态关系的基础。以上研究只是针对简单的简支梁和矩形框架梁的尝试，尚未在工程中的大型复杂结构上进行验证。因此，Malen［4］在研究白车身的静态刚度与模态关系时，首先将白车身的弯曲状态等效为梁的弯曲，基于简支梁弯曲刚度与截面系数之间的关系和梁在1阶弯曲自由振动时的频率与截面系数的关系，得到梁的1阶弯曲模态频率与弯曲刚度、质量和简支梁长度之间的关系，然后推广至白车身模型中，用同样的方法得到扭转刚度与车身参数、车身1阶扭转模态之间的关系。该方法虽然在车身结构上得到了运用，但将白车身大幅简化为梁、杆，后期再依赖于大量实验数据进行修订，深受实验样本优劣和样本量的影响，可信度不高。此外，Deleener等［5-6］提出通过频响函数和模态测试技术获取白车身静态刚度的方法，其基本思想是频响函数的频率逼近0时，即为车身的静态刚度，但在频率为0处的波动问题尚未有效解决，况且此方法不能确定车身模态与刚度之间的关系，对性能目标设定的参考价值较小。

本文中从铝合金车身平台化开发的角度，首先深入分析铝合金车身平台的刚度与模态之间的关系，然后基于轻量化系数与扭转刚度的关系过渡到轻量化系数与车身模态的关系，以此构建车身的模态、刚度和轻量化系数之间的关系，为铝合金车身的轻量化开发奠定了必要的基础。

1 铝合金车身平台的基础性能

由于前期策划阶段可输入的信息很少，对铝合金车身平台性能的评估往往只考虑其基础性能：弯曲刚度、扭转刚度、1阶弯曲模态和1阶扭转模态。其中，弯曲刚度表征的是车身在满载状态下抵抗弯曲变形的能力，扭转刚度则表征汽车在凹凸不平路面行驶时车身的抗扭变形能力，两者反映的是车身的整体刚度特性。1阶弯曲和扭转模态是表征汽车乘坐舒适性的重要指标，是保证在复杂路况上给驾乘人员提供一种“结实”的安全感。此外，合理的刚度特性也是保证车身1阶弯曲和扭转模态的基础。而车身的强度、碰撞性能是以整车的详细模型为基础的，在前期规划阶段尚不予考虑。因此，弯曲刚度、扭转刚度、1阶弯曲模态和1阶扭转模态是前期策划阶段衡量车身结构好坏的重要指标，是前期策划阶段需要考虑的重要性能。

1.1 铝合金车身平台的弯曲刚度

在探究铝型材车身平台的弯曲刚度的计算方法时，可以将其视作一个矩形的框架结构，具体如图1所示，图中矩形长边表示车身的纵向结构，长度大致为汽车的轴距；较短的边表示车身的横向结构，长度大致为汽车的前后轮距。为求得整体框架的纵向弯曲刚度，分别约束矩形框架点1，2位置y，z方向的平动自由度和z方向的转动自由度；约束矩形框架点3，4位置 x，y，z方向的平动自由度和 x，z方向的转动自由度；再在左右两边的中点上分别施加垂直于矩形框架平面向下且大小为F的力。若记F5＝F6＝-F，则根据静力平衡，很容易得到 F1＝F2＝F3＝F4＝F／2。若将框架看作一个离散的线性系统，则框架系统所受外力的向量形式为

其中省略部分用0填充，表示结构在该自由度上无外载荷作用。

图1 矩形框架的弯曲受力状态

根据刚度定义，可得该矩形框架结构的弯曲刚度表达式为

式中δ5和δ6分别为加载点5和6的垂直偏移量，且分别为点 1～6的垂直方向的位移绝对值。将δ5和δ6表达式代入式（2）中得

对铝合金车身平台而言，铝合金下车体其约束和加载方式与框架相同，如图2所示。其差异主要体现在：为消除约束、加载点局部变形过大对车身弯曲刚度的影响，取约束、加载点在纵梁和门槛梁底面的垂向投影点作为弯曲刚度的测点。

图2 铝合金车身平台弯曲刚度的载荷和边界条件

取与点1～6对应的点Ⅰ～Ⅵ作为相应的测点，则铝合金车身的弯曲刚度计算公式为

基于上述边界条件的定义，运用有限元分析软件MSC.Nastran求解得到Z向位移云图，如图3所示。将前后纵梁和门槛梁的测点位移代入式（4）得到弯曲刚度的仿真值为2 270 N／mm。

图3 铝合金车身平台的弯曲工况变形云图

1.2 铝合金车身平台的扭转刚度

在白车身扭转刚度计算时，同样可将其视作一个矩形的框架结构。图4所示即为矩形框架扭转工况的约束、受力情况，具体描述为：在1，2点施加垂直于矩形平面方向且大小相等（均为F）、方向相反的两个力，并分别约束3，4点处 x，y，z方向的平动自由度和x，z方向的转动自由度，约束点5处z方向的平动自由度，其中5是边L12的中点。若记F1＝F，F2＝-F，由静力平衡，容易得到 F3＝-F，F4＝F，在整个框架系统中，其向量的形式为

同样的，省略部分用0填充。

图4 矩形框架的扭转受力状态

根据扭转刚度的定义，矩形框架的扭转刚度为施加于L12端的扭矩T除以L12与L34相对扭转角θ，即

式中 θ1和 θ2分别为 L12和 L34的扭转角，且点的垂直位移。同样的，铝合金车身平台的载荷边界条件与矩形框相同，扭转刚度计算方法是基于矩形框架的纵向扭转刚度计算方法对测点的修正，如图5所示。

图5 铝合金车身平台扭转刚度的载荷和边界条件

铝合金车身的扭转刚度计算公式为

同样得到扭转工况下铝合金车身平台的Z向位移云图，如图6所示，将前后纵梁的测点位移代入式（7）得到扭转刚度的仿真值为68 797 N·m／rad。

图6 铝合金车身平台的扭转工况变形云图

1.3 铝合金车身平台的模态

模态分析的目的是得到结构自由振动的频率，是对多自由度无阻尼系统的固有频率和模态振型的求解过程。

假定铝合金车身的自由振动是n自由度无阻尼振动，则其微分方程为

式中：M为质量矩阵，是对称正定矩阵；K为刚度矩阵，是对称正定或半正定矩阵；x为位移列向量。在n自由度无阻尼系统中寻找能使微分方程组解耦的新坐标的过程，其实就是寻找能使质量矩阵和刚度矩阵同时对角化的坐标变换矩阵的过程。假设同一系统所选择的两种不同坐标x与η有如下变换关系：

式中Φ为非奇异矩阵。则在η坐标下系统的微分方程为

再令 ΦTMΦ＝Mm，ΦTKΦ＝Km，则式（10）可写为

式中：Mm为对角阵，主对角元素为各阶模态质量；Km同样为对角阵，主对角元素为各阶模态刚度。特别地，对于第i阶模态，有

即

式中 ωi，fi，Km，i和 Mm，i分别为第 i阶角频率、自然频率、模态刚度和模态质量。式（12）定量描述了各阶模态刚度、模态频率与模态质量之间的关系。

在工程应用中，上述模态分析的参量都可以借助成熟的有限元分析软件快速地进行求解。例如，对铝合金车身平台进行模态分析时，可基于Hyper-Work建立有限元模型，设置分析的频率范围为1～200 Hz（1 Hz以下为刚体模态，不作考虑），选用BlockLanczos法提交至MSC.Nastran进行求解计算。由于白车身属于弱阻尼系统，故无须设置阻尼系数，1阶弯曲和扭转云图分别如图7和图8所示。

图7 铝合金车身平台的1阶扭转模态云图

图8 铝合金车身平台的1阶弯曲模态云图

由图7和图8可知，铝合金车身平台的第1阶模态振型表现为整体的扭转，模态频率为27.76 Hz；铝合金车身平台的第3阶模态振型表现为整体的弯曲，其频率为44.24 Hz。

2 铝合金车身平台的轻量化系数

由于白车身轻量化系数［7］综合考虑车身扭转刚度、车身尺寸和质量的相对关系，对白车身材料的合理使用和结构优化设计有重要意义，成为汽车行业车身轻量化水平的重要评价方法。

本文中将轻量化系数推广到铝合金车身平台，并用于其轻量化水平的评估，仿照白车身的轻量化系数计算方法，建立车身平台的轻量化系数计算方法，如图9所示。铝合金车身平台轻量化系数的计算公式为

式中：M为铝合金车身平台的质量；A为铝合金车身平台的前、后悬架4个安装点的垂向投影组成的平面面积；KT为铝合金车身平台的扭转刚度。按照有限元理论计算出的扭转刚度值得出铝合金车身平台的轻量化系数为22.46。

图9 铝合金车身平台的轻量化系数计算示意图

3 铝合金车身平台基础性能关联性研究

3.1 静态刚度与模态关联性研究

首先给出矩形框模型的静力学方程［8］：

式中：x为静力学中的位移列向量；P为外力列向量。在频域上，考虑到静态位移实际上就是频率为0时的动态位移，将x＝Φη代入式（14），并同时在等式两边左乘ΦT，得

或

式中φi为第i阶模态向量。

当矩形框架受到静态弯曲力的作用时，根据式（1）和式（15），在第 i阶模态下有

式中χj为弯曲工况下第j个坐标的广义力系数。由x＝Φη或 x＝φ1η1＋φ2η2＋…＋φnηn可知，第 j个坐标的位移可描述为

将式（16）与式（17）联立，消去 ηi得

再将式（18）代入式（3）得到弯曲刚度与各阶模态参量的关系：

同理得到扭转刚度与各阶模态参量的关系式：

前面提到，铝合金车身作为一个大型的线性系统，是矩形框系统复杂化的体现，它应满足式（19）和式（20）中的关系。但值得注意的是，静刚度的测点与加载、约束点的位置并不重合。因此，须同时考虑试验加载、约束位置和测点位置的模态变形量，故对式（19）和式（20）修正如下：

这里记 φ1，i～φ6，i为加载或约束点处第 i阶 z向模态变形量，φⅠ，i～φⅥ，i为测点Ⅰ～Ⅵ第 i阶 z向模态变形量，Lf为左、右前悬架减振器安装面中心点之间的距离，L12和L34分别为前测点之间和后测点之间的距离。式（21）和式（22）的右边各项即为白车身各阶模态的弯曲（扭转）柔度贡献量，其具体含义为：铝合金车身平台的静态柔度等于各阶模态柔度贡献量之和。

3.2 轻量化系数与模态关联性研究

将式（22）与式（13）联立得到车架的轻量化系数与各阶模态的关联性：

式（23）表述的是轻量化系数与车身平台的各阶模态的关系。其物理意义为：车身平台的轻量化系数是各阶模态共同贡献的结果，而各阶模态是车身整体或局部结构好坏的反映。

3.3 实例应用

3.3.1 基于模态理论的弯扭刚度和轻量化系数计算为

验证式（21）和式（22）基于铝合金车身平台的实用性，运用有限元分析软件MSC.Nastran提取前50阶的模态参数（频率、模态质量和模态刚度）和包含弯扭工况下的约束加载点、测点在内的12个点的Z向模态变形量，根据式（21）和式（22）计算出铝合金车身平台前50阶模态与弯曲和扭转刚度的关联性曲线，如图10和图11所示。由图10和图11可知，随着模态阶次的增加，根据模态参数得到的柔度曲线整体上呈现收敛于静态刚度曲线的趋势。当取前50阶模态参数时，通过模态参数求得的弯曲和扭转刚度值分别为2 368 N／mm和70 070 N·m／rad，轻量化系数为22.06，与通过有限元理论分析求得的弯扭刚度值误差仅为4.32%和1.85%，轻量化系数误差仅为1.78%，如表1所示。

图10 车身平台前50阶模态与弯曲刚度的关联性曲线

3.3.2 基于刚度贡献量的模态识别

图11 车身平台前50阶模态与扭转刚度的关联性曲线

表1 两种弯扭刚度计算方法对比

图12为铝合金车身平台各阶模态对扭转刚度的贡献量。由图可知，第1阶模态对扭转刚度的贡献高达84.61%，远超其它各阶模态的贡献量之和，说明第1阶模态便是铝合金车体平台的扭转模态。而由有限元理论模态分析可知，第1阶模态振型表现为1阶扭转振型，如图7所示，两种模态识别方法结论一致。

图12 车身平台各阶模态对扭转刚度的贡献量

图13为铝合金车身平台各阶模态对弯曲刚度的贡献量。由图可知，第3阶模态对静态弯曲刚度的贡献量达到79.72%，为所有其他各阶模态贡献量中最大，说明第3阶模态便是铝合金车体平台的弯曲模态。而由有限元理论模态分析可知，第3阶模态振型表现为1阶弯曲振型，如图8所示，两种模态识别方法结论一致。

图13 车身平台各阶模态对弯曲刚度的贡献量

综合图12和图13可以得出：对弯曲（扭转）刚度贡献量最大的模态阶次即为对应的1阶弯曲（扭转）模态。此模态识别方法是基于各模态参数和弯扭刚度测点综合考虑的结果，能有效避免局部模态振型对1阶弯曲（扭转）模态识别的干扰。

4 试验验证

图14和图15分别为铝合金车身平台的弯扭刚度试验测试图。铝合金车身平台的弯扭刚度试验的仪器主要有两部分组成：一是弯扭刚度试验台架，用于实现对铝合金车身平台的加载和约束；另一部分是信息采集系统，用于测量和搜集载荷信号和车架的位移响应。试验边界条件与1.1和1.2节中描述一致，测点布置在前后纵梁及门槛梁的底面，左右对称布置。

图14 铝合金车身平台的弯曲刚度试验

表2为铝合金车身平台的弯扭刚度和轻量化系数的有限元分析算法和模态理论算法与试验值的对比。由表2可以看出，弯曲刚度、扭转刚度和轻量化系数的模态理论算法误差比有限元算法的误差小，其中，弯、扭刚度的模态理论算法的误差分别为1.85%和1.82%，而轻量化系数的模态理论算法的误差为1.89%，说明模态理论算法具有较高的工程应用价值。

图15 铝合金车身平台的扭转刚度试验

表2 两种计算方法计算值与试验值的对比

5 结论

（1）铝合金车身平台的静态刚度、模态和轻量化系数存在着密切的关系，具体表现为：铝合金车身平台的静态弯扭柔度等于各阶模态柔度贡献量之和，其轻量化系数也可看做是各阶模态共同贡献的结果。因此，有针对性地提升车身的模态可作为提升车身整体或局部刚度、降低轻量化系数的主要途径。

（2）通过对铝合金车身平台各阶自由模态参数的求解，可得其静态刚度的近似解，且随着阶次的增加，基于模态参数的刚度解更逼近于有限元静态分析解。选取前50阶模态参数求得的弯曲刚度、扭转刚度值和轻量化系数与有限元分析算法的解的误差仅为4.32%，1.85%和1.78%，精度较高。

（3）1阶扭转模态对扭转刚度的贡献量达到84.61%，1阶弯曲模态对弯曲刚度的贡献量达到79.72%。对弯曲（扭转）刚度贡献量最大的模态阶次即为对应的1阶弯曲（扭转）模态，此种模态识别方法可作为弯扭模态识别的重要参考依据，能够有效避免局部模态振型对1阶弯曲（扭转）模态识别的干扰。

（4）相对于试验测试值，铝合金车身平台的弯曲刚度、扭转刚度和轻量化系数的模态理论算法精度比有限元理论算法的误差要小，其中弯扭刚度的模态理论算法的误差仅为1.85%和1.82%，轻量化系数误差则为1.89%。