类比联想探究，提升核心素养

荀金青

摘 要：基于核心素养的圆锥曲线统一性的探究，要让学生体会数学探究的基本方法和思路，统一性的整体教学设计思路可以促进学生构建前后一致、逻辑连贯的知识网络体系，逐步提升数学课核心素养。

关键词：核心素养;圆锥曲线;统一性

圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，具有数学性质的统一性，如果在教学中将这些内容进行梳理、整合，能够帮助学生深化对圆锥曲线的认识，达到“窥一斑而知全豹”事半功倍的学习效果。本案例从锥面截线、轨迹观点、方程形式、曲线性质等几个方面对圆锥曲线的统一性进行了探究归纳。

一、教学目标

（1）掌握圆锥曲线的统一性质，了解圆锥曲线的联系和区别，能利用圆锥曲线的基本性质解决相关问题。

（2）感受联想类比、数形结合、分类讨论、归纳演绎等数学思想，培養观察和探索能力，体会运动变化、对立统一的辩证思想。

（3）认识概念本质特征的概括抽象过程，激发学生学习数学的主动性和积极性，提升直观与抽象思维、逻辑推理等数学核心素养。

二、教学重点与难点

教学重点：圆锥曲线的形成、定义、方程等概念、统一性质及其应用。

教学难点：联想类比圆锥曲线的统一性质及对统一性的深层次理解。

三、教学设计与说明

1.从平面截圆锥体看圆锥曲线的统一

问题1：为什么把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为圆锥曲线？

用一个平面去截两对顶正圆锥面（平面不过圆锥顶点），会得到怎样的结果？

设计说明：用一个平面去截两对顶正圆锥面（平面不过圆锥顶点），通过适当改变截面的位置，截线的形状会呈现圆、椭圆、双曲线和抛物线，如图1。学生借助Flash的直观演示，从立体几何的角度，在圆锥面上认识到四种圆锥曲线的统一性质。

设计说明：圆锥曲线的统一性，必然决定了它们的某些性质存在的相关性，在例题2、例题3中可见其普遍性。教师引导学生类比联想，拾级而上，探索拓宽并延伸，逐步加深学生对数学本质的理解，充分领略到数学内在的奇妙与和谐。

5.课堂小结

通过以上的三个例题，我们充分领略了四种圆锥曲线统一性，这种统一性是可以帮助我们在解析几何复习中知一反三，融会贯通，事半功倍。在本节课，我们用到了数形结合、分类讨论和类比联想等思想方法，尤其是类比与联想，它是我们开展数学学习和问题研究极其重要的方法。通过类比与联想，我们可将许多知识纵横联系，开拓创新。同学们在学习中应注意多观察、多思考、多探究、多反思，使自己解析几何的水平上升到一个新的水平。

6.课后探究题

尝试完成以下圆锥曲线问题，并类比迁移到其他圆锥曲线中，并探究其正确性。

圆锥曲线有着优良的光学性质，并且在现实生活中的应用相当普遍。请你利用所学的知识，探究这些圆锥曲线的光学性质，并比较它们的异同。

四、结束语

本课例是圆锥曲线部分的一节探究型复习课，即对圆锥曲线中的一组统一性质进行一些初步的探究。在数学探究复习课中，不再是知识学习过程的简单再重复，更重要的是帮助学生在知识内容上整理归纳，在方法技巧上点拨提高，在数学思想上体验内化。“数学是一个有机整体，拥有清晰的结构，从学习的角度来说，更是如此。只有这样才能更好地提升、发展学生的数学核心素养。”在本案例中，尽管椭圆、双曲线、抛物线在形式上不同，但实际上存在着统一性，有着诸多相同或相似的共性，教师引导学生主动类比与联想，充分想象，大胆猜想，在原有知识体系的基础上加以拓宽延伸，进一步发现圆锥曲线本质上的统一。学生在探究中不仅切身体会到对立统一、运动变化、极限等思想，同时还增强了创新意识，拓展了学习思路，提高了数学素养，这充分体现了数学研究的价值。

参考文献：

[1]倪科技.圆锥曲线教学策略探究[J].上海中学数学（上旬），2015.

[2]王尚志.如何在数学教育中提升学生的数学核心素养[J].中国教师，2016.

[3]张艳，刘伟.圆锥曲线的统一性[J].时代教育，2015（12）.

编辑 温雪莲