试论数学中排列组合在生活中的应用

宋英颉

摘要：随着对高中数学知识学习的深入，运用不断重新建构的数学知识与思维方式去观察和思考生活中的问题时有更多维化的视角。而在掌握排列组合这一重要的数学理论工具后，将其与概率论和统计学知识相结合，对貌似不相关的事物根据某种特质进行分类并建立起数学分析模型，能够体验到运用数学知识探究日常生活中事物之间内在联系和复杂的变化规律的乐趣。与此同时。对数学这一基础理论工具在分析和解决问题中的应用价值有更深刻的理解一数学知识与理论不止是寻找量化答案的工具，还能够分析某种复杂关系情况下特定结果的存在性及进行复杂多样的决策的优化。

关键词：生活应用 排列组合 分类分析 优化选择

引言：在日常生活中人们通常意识不到自身所做的选择中蕴含的排列组合思维元素。例如人们选择穿衣搭配、出行路线以及选购日常用品时，头脑中都会闪过一些筛选条件，例如服装或配饰的颜色、出行路上有多少可支配的时间以及一共有多少种潜在选择等。而在学习排列组合理论知识后，面对这些日常行为时就有了不一样的思考方向。在工农业生产中，排列组合的思想也是经常困扰着人们，如各种农作物的相互套种，各种机械设备的相互搭配，各种最优化方案的选择，各种投资合理性的选择，各种收益和产出的效率分析……排列组合的思维不仅仅是选A或者选B这么简单，而是根据需要选择最优、最佳方案，指导实际生活和生产活动：或者是根据离散片段的共同特点，选择其统一的规律，根据这种规律得出相应结论的思维方式。

一、排列组合理论对解决问题思维方式的改变

（一）发现解决离散型问题的数学方法

随着高中数学知识学习的不断深入，虽然学习所需的思维方式的抽象性一直在提高，但是运用新掌握的数学理论知识所解决的问题始终比较具体，研究的对象一般也仅限于二元或三元。而排列组合理论却打破了常规数学理论知识的解题规律，探究的对象无论是数量、类别还是期间的变化关系都呈现多元化、复杂化。并且通常用于给研究对象分类的特征本身和在此基础上事物关系的变化表面上与数学问题没有直接联系，而是会影响特定问题量化结果的间接条件：通常几乎都是数据和各种知识的罗列，或者各种原始材料的堆砌，通过蛛丝马迹发现其共同特点，然后生成同一组合的规律。因此排列组合理论的学习为研究离散型问题并求得科学的量化结果提供了有力工具。

（二）对特定问题从定量到定性的分析

运用数学理论知识去观察和解决实际问题，往往是基于发现用于对事物之间关系进行定性的数量关系，从最基础的比较代表事物基本数学特征数量的大小，到计算与数字有关的各种事物之间的数量关系。而且无论是利用方程还是函数关系对现实问题进行数学分析，最终都能够得出相对明确的答案。即既往的数学理论基本倾向于对数学问题进行定量分析。而排列组合理论所蕴含的数学思想将对问题的定量分析和定性分析有机的结合起来，通過按照不同的特质进行归类而对事物的规律进行多角度分析，从而对不同的量化结果进行计算和比较，以便找到一个基于特定条件的答案。

（三）发现解决问题途径的多样性

以人们的经验和所谓常识进行日常生活决策时，往往容易忽视解决一个问题选择的多样性。例如前文所提到的人们每天都要面临的各种选择，人们大多数时候会凭借直觉和本能做出选择。这与人们日常生活和工作节奏不允许在做出一个选择时进行详细分析有关，也因思维形成定式而限制了想象力和失去了更加科学的判断力。而掌握排列组合理论的思维模式后，经常会对一个简单的日常问题解决途径的多样性而感到震惊，例如在一家五口人拍摄全家福时，按照性别、辈分或者站立与坐姿等不同条件进行位置选择，可以拍摄出数百种不同的照片，而之前根据直觉会认为潜在的不同选择最多不会超过两位数。在排列组合的研究中，有五大经典型问题，都是对排列组合每个角度的演绎，也都是问题多样性的表现，比如，地图着色问题（对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色）、船夫过河问题（船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河）、中国邮差问题、任务分配问题、大乐透彩票问题等等。了解排列组合之后，才真正了解到事物的多样性和不同差异之间组合的复杂性。

二、运用排列组合解决日常生活中问题的方法简析

（一）结合概率论解析常见问题的数学奥秘

在日常生活中人们往往会惊叹各种数字上的巧合，例如最经典的生日问题。同班的同学在学校的学习生活中大多遇到过与自己同年同月同日出生的同学，并且每一次都有同样不可思议的感觉。但是如果运用排列组合和概率论知识结合进行分析，就会发现由于同班同学本身就是按照出生年份分组（大多都是在一个简单的年龄段内，约3-5年内），并且同一年份只有不多于三百六十六天，每一个班级又至少有三十人。综合上述条件进行排列组合的情况下就会发现发生上述“巧合”的概率之大超出绝大多数人的直觉。这主要是人们从一开始就忽视了班级分组的前提大条件，并且凭借直觉认定每一个人的生日都因无限多的年份、十二个不同月份以及每个月至少三十个日期的无限多种组合而呈现极大的分散性。因此但凡遇到所谓数字上的巧合，都应对这些巧合发生的前提进行细致的分析，从而就会很容易发现其中蕴藏的数学奥秘。

（二）运用量化的分析结果验证常识的可靠性

数学知识学习的越多就越是发现日常生活中的很多经验和常识存在误区，尤其是人们为了尽快做出决策而不假思索使用的一些常识。而在学习排列组合理论知识后，给运用量化的分析结果验证常识的可靠性创造了条件，例如家里的电气节能问题，到底选择哪一种灯具、电器以及各种电气开关如何设置能够达到最佳的节能效果，可以进行详细的分类、分析和计算，结果往往与听取销售人员泛泛的建议或者参照邻里的常用方式截然不同。以往的方式方法和经验都是结合在原有大前提的条件下得出的结论，如听取销售人员的意见大前提就是销售人员会以利润最大化作为潜在条件，而参考邻里意见时每家的条件、习惯、情况都不一定一致，所以得出的结论不同，这就是经验和常识与数学分析结果不一致的原因所在。

（三）使用排列组合方法辅助日常问题的决策

在学习排列组合理论前，运用数学知识针对某一个问题进行分析时，答案通常是唯一的且可以具体为某一个数字。而运用排列组合理论结合概率论知识，能够通过计算找到在不同条件下最优化的问题解决方案。并且这一结论性方案的价值不仅体现为一个数字，更重要的是达到这一量化数据所设置的前提条件以及在条件限制下事物各种复杂联系的演变过程。即找到达到某一目的最佳路径以及达到这一目的的方法。而这种解决问题的全新模式正是日常生活问题最常需要的解决办法，即寻找解决问题的最佳路径往往比得到一个量化的数据更有现实意义。找到最佳路径是解决问题的现实目标，而数据通常是预先验证路径选择的科学性的量化指标。例如选购日常生活用品的决策过程，数字化的价格和食品中的营养成分只是衡量商品价值的工具，决定购买哪一种产品的最终决策才是人们最想得到的答案。

三、结束语

通过对排列组合理论的学习，让人们能够对存在复杂又松散的联系的事物之间的相互关系进行深入研究，发现在不同的前提条件下事物发生和发展的路径及其结果有何规律，并且针对特定问题寻求一种科学又合理的解决方案。