数学建模素养的日常发展

张强

摘   要：依据《高中数学课程标准》对数学建模的要求，培养学生数学建模素养具有必要性，根据高中阶段数学模型学习的基本特征，并立足于日常教学，培养学生数学建模素养要回归于落实核心素养发展。

关键词：数学模型;核心素养;数学教学

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2019）17-0036-04

在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，数学建模被列入六个数学核心素养之一。《课程标准》指出，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。用数学的方法解决实际问题是数学的基本思路，为了利用数学工具解决现实生活中问题，需要建立适当的数学模型，也就是说，数学模型是为现实生活服务，为社会学、自然科学研究提供的工具;特别是进入以计算机技术为代表的信息时代，数字技术被更为广泛运用，数学建模与现代科学技术越来越紧密联系在一起，一切社会学、自然学科研究都离不开模型，模型依据原型的形象化或模拟与抽象而产生，它是对原型某些方面不失真的近似反映，而数学模型更多地是研究其空间或数量关系，这样就建立或产生了各种形式或形态的数学模型。学生数学模型素养的培养，是一个渐进式螺旋上升过程，教师要在日常教学中通过潜移默化的方式，培养学生数学建模素养。

一、培养学生数学建模素养的必要性

（一）创新意识和实践能力培养

数学建模素养培养有利于提升学生实践能力，增强创新意识和科学精神。数学模型是人类文明的文化积累，体现了人类处理现实问题的智慧。提升学生数学模型素养，是提升学生数学文化和数学素养的重要组成部分，也是高中数学教育的重要目标。数学建模进入中学教育，也正在世界范围内逐步形成一种潮流。在这股潮流中，为中学生数学才能和潜力的发挥提供了更为广阔的空间，也为学校数学教育特色化提供了创新空间，学校以数学建模为抓手推动数学教育改革;教师在日常数学教学中，习惯用建模思想方法分析教材、设计教学过程，让学生在“做数学”的学习过程中，体会数学的力量，体验数学建模过程，提升其数学学习的兴趣。

对数学模型方法进行学习，需要教师和学生共同挖掘组织材料，在学生周围有大量的现实问题可以用数学的方法来解决，而更多的数学建模思想学习、数学建模素养培养应建立在平时的教材内容和课堂学习之中。

（二）提升学生对数学的感悟与认识

数学建模素养培养过程可以提升学生对数学的本质认识，可以提升学生“问题意识”，也提升学生对数学的感悟与认识。在学生有意识应用模型思想建立数学模型时，就要联想到已有数学知识，然后综合利用各个方面知识解决一些与数学有关的现实问题。在这个过程中，首先要把待研究的现实问题中的数学问题明确地表达出来，然后使用数学的理论和方法进行分析、并得出数学结论，最后还要还原到现实的实际问题。在以上过程中，鉴于现实问题的复杂性，很难用学生熟悉的数学理论“套用”到这些问题上，这就需要在数学理论与现实问题之间建立一个“桥梁”，这个用于把现实问题用数学结构明确表达出来的“桥梁”就是数学模型。为此，数学模型一定有它自己的应用背景，数学模型是从特定的实际问题中抽象出来的，在这个抽象过程中，学生对具体现象的数学本质的理解会得到进一步升华。

二、数学模型学习基本特征

（一）体验性特征

正如要学会开汽车，只有了解汽车，学习相关操作，并亲身体验开车过程，才可能逐步驾驭好汽车。中学生学习数学建模需要一定过程，需要学生亲身体验数学建模步骤，在学习数学建模初始阶段，更多的是教师引导展示，用数学模型思想方法解决一些典型问题，通过范例让学生初步感受数学模型为解决现实问题带来的方便与好处;进一步，学生在模仿操作过程中，初步体验、了解数学建模的一般步骤与方法，并逐步产生对数学学习的兴趣;然后，教师根据学习需要和学生经验，设计学生熟悉的、发生在身边的实际问题，学生通过对数学建模的整个过程和环节的亲自体验，逐步感受、了解建模过程。

（二）原型性、创造性特征

数学建模不能等同于通常的“应用题”，尽管解应用题训练有利于学生数学建模能力提升，應用题中的条件只是数学假设，但不是实际问题的简化假设。数学建模学习应从现实原型出发，创设或恢复数学学习、创造的全过程。基于中学生学习特征和学习规律，平时教学中，侧重于学习、研究相对完备的知识或已经建立好的数学模型，而数学学习提倡积极主动地学习、建构知识与方法，为此不能满足于既定数学模型并导出具有一定方向性的答案，而对于某一特定的现实研究对象，根据学生已有知识和建模经验，由学生自己构建数学模型，更能够激发学生获取知识的主动性，提高学习兴趣，感受数学价值，提升学生解决问题能力，培养学生数学核心素养。

例1：四条腿长度相等的椅子，如果放在不平坦的地面上，四条腿能否一定同时着地？

本问题背景学生非常熟悉，看起来又与数学没有直接联系，但如果假设椅子中心不动，每条腿着地点抽象为几何学的点，用点A、B、C、D表示，建立直角坐标系，线段AC、BD所在有向直线为x轴、y轴。这样把旋转椅子转化为坐标轴旋转，并且θ为对角线AC旋转后与初始位置x轴的夹角，g（θ）表示点A、C两腿与地面距离之和，f（θ）表示B、D两腿与地面距离之和，则放平椅子问题抽象为：当地面光滑时，g （θ）、 f（θ）皆为连续函数，因两条腿总能同时着地， 总有f（θ）·g（θ）=0。不妨假设g（θ）=0， f（θ）>0，在以上条件下，求证存在θ0，0<θ0<，使f（θ0）=g（θ0）=0.

（三）抽象性、直觉性特征

数学建模有利于培养学生抽象思维及直觉思维，数学学习的核心是培养学生思维能力。数学概念是经过抽象得来的，而这个抽象过程可能要进过多次抽象。数学模型是为了某种目的，摈弃现实原型中的某些非本质属性，并使本质要素形式化，对原型进行简化地、本质地刻画，并对原型用数学语言进行准确的概括，从而可以使同一模型能运用到不同的现实情境之中，这样数学模型既能体现实际问题，并能经得起实际问题的检验，还能预测实际问题可能的结果。一般，对学生来说，数学建模的研究对象并非课本中给出的现成材料，学生面对新情境下的研究对象，有时需要学生即时状态下对新事物做出相关数学的反应于决策，这实际就是学生直觉思维的运用与体现。直觉思维是数学基本思维，学生正是在数学建模过程中，数学直觉思维得以提升与发展。

（四）程序化特征

由于实际问题的多样性，数学建模涉及的范围自然很广泛。尽管建模类型、方式、方法具有多样性，但数学建模一般要经历一个程序化过程，也就是有一个基本思维框架或思路，一般数学建模具有如下几个阶段：

第一阶段，针对一个实际问题，要明确研究对象和研究目标。明确研究问题实际背景及相关知识，了解数据、资料来源是否准确，弄清研究问题的类型等。

第二阶段，辨析并列出实际问题有关因素，通过假设将要研究的问题简化，弄清研究对象的关键因素及其在问题中的作用。

第三阶段，运用已有数学知识和数学方法刻画问题中变量之间的关系，通常确定参数，可以用数学式子表达描述，从而得到相对应的数学模型。

第四阶段，运行已经获得的数学模型，计算求解，获得数学的结果，并将获得的结果与实际观测进行比较验证。不断改进模型，如果模型与实际不相符，重新研究模型运行过程及其组建过程，并验证假设，判断假设是否合理，检验问题因素的筛选过程，并对假设给与修正后，重复前面建模过程，直到获得经检验符合实际的数学模型。

在上过程中，学生根据现实问题和实际情境，从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型、经历了确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题的全过程。

三、立足课堂教学，开展有效的数学建模活动

《课程标准》指出，数学建模与数学探究活动以课题研究形式开展，在选择性必修活动中，要求学生完成一个课题研究……根据选题的内容，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物或研究论文等多种形式。在具体教学中，应特别关注以下几点：

（一）选择恰当对象，构建模型体系

确定一定难度和有学习价值的建模对象，在高中数学建模时哪些现实问题可以作为探究对象是一个值得思考的问题。一般，研究的现实问题应与数学核心概念、内容有紧密联系或相关，并有一定难度与挑战性，问题具有一般性且可能有多种建模思路，含有一定思维价值。学生利用已经掌握的多种知识可以利用数学建模思想方法通过多种途径解决问题。

（二）课堂教学是数学建模主阵地

依托教材中的教学内容，渗透数学建模思想是非常重要的。教材公式、定理、习题等是数学教研的结晶，编写者将这些数学精华编辑成学习材料，这些内容往往蕴含着丰富的数学模型思想，例如函数模型、方程模型、二次模型、不等式模型、数列模型等，教师在课堂教学中应不失时机、有意识、有目的地渗透数学模型思想，有意识地将教材中的公式、定理、概念赋予恰当的实际意义，构造数学模型，用数学模型思想方法处理、思维数学问题。

另外，教材与平时训练中，有大量的与现实生活相关的应用题或开放性问题，与以往相比，应用题或开放性问题有很多新变化，表现为情境更加新颖、更富有时代特征、更具有开放性，蕴含信息更开阔丰富、更贴近学生生活，这些具有真实情境背景的应用问题，更有利于鼓励学生利用模型化思想解决问题，有利于提升学生思维和创新能力。

（三）组织丰富多彩的课题研究，带动数学建模探究

组织有效的数学建模活动，是数学建模的关键，教师应注意以下几点：

一是建模过程中充分发挥学生主体作用。数学建模是学生的数学研究活动，教师不能代替他们，教师的职能是为学生学服务，学生能动地去亲自参与体验，才能将知识客体与主体已有的认知结构建立联系，从而形成他们新的认知结构和认知方式。

二是学生要有必备的知识储备。必备知识储备是很重要的，数学建模离不开知识，任何知识学习，既为理论提供依据，又是形成新理论的条件。

三是数学建模活动需要学生之间交流、讨论。这就需要建立民主、轻松愉快的学习氛围，给与学生相对充足的时间、空间，与接受学习相比数学建模需要更多时间，需要较大空间。有时，数学建模活动甚至要延伸到社会生活之中，教师还要帮助学生开发各种学习渠道，如网络、社区、工厂、农村等。

四是教师与学生共同搜集、整理大量信息、资料与数据。在信息时代，学习资源是共享的，尽管学生是数学建模主体，但由于学生知识、经验有限，在必要的环节，需要教师的参与指导。例如，面对大量繁杂信息，学生可能难以操作、分辨和处理，需要教师帮助辨析指导，需要教师对建模的研究对象适度优化，变成适合学生研究、建模的材料。

五是交流、展示与评价。中学数学建模活动中，需要建立开放性交流和展示的平台，让學生充分展现他们的成果，获得成功的喜悦，分享建模过程中成功或失败的经验。根据选题的内容，撰写报告，报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物或研究论文等多种形式，教师和学生共同给与合理评价，评价既关注结果也要关注过程，既关注知识技能又要关注各种能力与素养。

（四）逐步养成建模习惯

数学建模不是目的，目的在于培养学生核心素养，为了激发学生学习数学的积极性和主动性，发展创新精神，必须培养学生应用意识和实践能力。一方面，教师要基于数学情境，构建数学模型，让学生学会学数学、用数学，培养学生“四能”（发现、提出、分析解决问题能力），达到“三会”（会用数学眼光看、会用数学思维想、会用数学语言进行表达）;另一方面，数学模型属于一个综合性数学活动，既体现数学的应用，更体现研究对象的现实背景，学生可以在建模过程中，感受利用数学概念、方法、思想解决现实问题的作用，达到提升学生综合能力，更加全面地提升学生核心素养的目的。