一次函数建模的教学

杨建永

摘   要：核心素养是关于学生知识、技能、情感、态度、价值观等多方面要求的结合体，它指向过程，关注学生在其培养过程中的体悟、而非结果导向。其中，数学建模素养对学生后续的学习至关重要，对提升学生的核心素养也有非常积极的作用，值得在数学活动中着力发展。

关键词：函数模型;数学素养;核心素养

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2019）17-0040-03

数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言，就是模型。

——摘自《数学基本思想18讲》史宁中

函数是研究现实世界变化规律的重要模型，用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题，将有助于人们更好地认识世界。在北师大版初中教科书中，函数作为代数部分的学习主线贯穿始终;在七年级，学生对函数的学习处于感受阶段，在八年级从变量出发，获得函数的定义，开始学习初等函数。

在函数学习过程当中，学生数学思维方式和学习方法也发生了重要的变化，思维从静态走向运动，从离散走向连续，从运算转向了关系，表示方法也从单一转向了多样化。也就是说，与常量学习相比，函数更具有抽象性，形式化的程度也很高。而一次函数是初中生第一个学习的函数模型，也是中学数学的一项重要教学内容，为今后函数教学奠定基础。如果能适当把握好一次函数教学的机会，就能培养学生学习函数的兴趣，为以后函数的学习做好铺垫。如果学生对于一次函数的概念不能理解，那后续的反比例和二次函数的学习就难上加难。如何在已有的认知基础上帮助学生更好地解决一次函数应用问题呢？笔者认为依托具体情境，在教学活动中渗透建模思想，会达到更好的效果。

一、创设丰富和贴近学生生活的函数模型

一元一次函数在日常生活中应用十分广泛，比如在计算速度路程问题时，其中涉及到变量的线性依存关系，可利用一元一次函数解决这类问题。在教学时可以录制相向运动的视频，学生结合自己的经验发现在这个过程中，随着时间的变化，甲乙两者之间的距离也发生变化，大致描述两位同学之间的距离随时间变化而变化的情况。

二、通过建立图象感受两个变量之间的关系

你能不能画个简图大致描述两位同学之间的距离随时间变化而变化的情况。

问题：（1）在这个变化过程中是哪些量之间的变化过程？

（2）在这个图象中，x，y分别表示的是什么？

x：運动时间，y：乙离A地的距离.

（3）继续观看视频，甲乙相遇之后没有停止运动，分别到达对方的起点后停止运动，完善细化你的图象。

（4）描述两位同学之间的距离随时间变化而变化的情况，说明图象里各个点的意义。

解答前面四个问题的过程实际上就是建立函数模型的过程：

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型。

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型。

学生把路程与时间的数量抽象出来，在具体的一次函数的学习过程中，整体观察、分析这些量之间的关系，把抽象的概念和具体的事例联系起来，运用变化的观点去理解和分析。

三、通过细化图象进一步分析两个变量之间的关系

在七年级的变量学习过程当中，学生们已经能够基本了解，函数不是数或运算，需要从变化的视角来分析两个变量之间的相互依存关系，当自变量改变时因变量也发生变化，当自变量确定时因变量也唯一确定;所以前面的环节学生进行的难度不大。进入八年级，学生的抽象思维得到了发展，能够把现实生活的数量抽象为数，计算、分析这些量之间的关系，也能够在观察分析问题时进行联系，体会图象是进一步刻画这个函数模型的工具。

问题：（1）你能在具体点的位置标识上合适的数字吗？

（2） 通过这个图象你能得到哪些信息？

①每个人的行程均为60m.

②甲乙二人10s时相遇.

③甲乙的速度和为■=6m/s.

④乙用30s到达终点.

⑤V乙=■=2m/s

⑥V甲=6-2=4m/s

⑦A（0，60）

⑧B（10，0）

⑨C（15，30）

⑩D（30，60）

（3）通过这个图象你还能得到哪些信息？

①yAB=-6x+60（0≤x≤10）

②yBC=-6x-60（10≤x≤15）

③yCD=2x（15≤x≤30）

各段图象都可以用待定系数法解决.

（4） 对于BC段直线有没有其他解法？

yBC=-kx+b（10≤x≤15）

在BC段与AB段都是甲乙二人的速度和，所以k=6，而利用函数图象直线的特征，将其延长就可以得到B=-60.

（5）在时间与路程的图象中是否能够清晰的感受到速度的变化，进而能够用更简单的方法求解CD段的函数解析式。

进一步迁移刚刚BC段的方法，CD段只有乙一个人在走，两者之间的距离就是乙独自产生的yCD=2x（15≤x≤30）.

此时完成一次函数建模问题，求解数学模型，得出数学结论。

四、利用函数模型解决实际问题

（1）①当两人出发8秒时，两人之间的距离是 12米 .

②当出发16s时，两者之间的距离是 32.4米.

③当两个人之间的距离为12m时，时间为 8秒或12秒.

（2）哪段时间，甲乙二人有机会可以连上手机蓝牙隔空投送（说明，两人使用同一型号手机，距离不超过五米）。

解决实际应用问题应强调以下两点：

（1）还原：將数学问题还原为现实意义。

（2）反思回顾：对于数学建模得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性。

在能够把现实生活中的数量抽象出来，计算这些量之间的关系，整体观察、分析这些量之间的关系后，把抽象的概念和具体的事例联系起来具体分析，运用变化的观点去进一步理解和分析这些量之间的关系。

同时在建模一次函数的过程中将函数、方程、不等式联系在一起。在具体的教学过程中，一直关注自变量的取值范围，在现实生活中，自变量的取值往往是有界的，在上面的活动中，借助具体实例，笔者引导学生思考自变量的取值不是任意的，帮助学生认识在研究一次函数中要注意自变量的取值范围，从具体到抽象，使学生对函数的概念有完整的认识。

五、学而不思则罔，思而不学则殆

在建模一次函数的过程中通过初步语言描述、图象表示、符号表示这个随时间变化而两者之间距离变化的过程，让学生通过思考、讨论、操作以及完成真实情景中的任务等活动学会自我学习、协作学习和探究学习。

教师要贴近学生认知水平设计科学、合理、有价值的具体问题。在一次函数应用教学过程当中，笔者用一组活动串问题，帮学生指明了研究的方向，引导学生研究问题、分析问题、解决问题，通过体验、建构及内化等过程逐步形成相对稳定的思维方法和价值观。

数学是研究现实世界空间形式、数量关系、模式和秩序的科学，建立教学模型的程序大概如下：

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型。

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型。

（3）求模：求解数学模型，得出数学结论

（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义。

（5）反思回顾：对于数学建模得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性。

六、结语

一次函数的学习对于初中学生既是重点，更是难点。建立一次函数模型对学生后续的学习至关重要，对提升学生的核心素养也有非常积极的作用。核心素养兼具稳定性与开放性、发展性，是一个伴随终身可持续发展、与时俱进动态优化过程，是个体能够适应未来社会、促进终身学习、实现全面发展的基本保障。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社，2011.

[2]马   复.义务教育教科书初中数学课本[M].北京师范大学出版社，2011.

[3]林崇德.21世纪学生发展核心素养研究[M].北京：北京师范大学出版社，2016：（2）.