谈谈回归概念的推理与证明

刘炜

《论语·为政》有句名言：“知之为知之，不知为不知，是知也.”借鉴到数学学习和解题中，就是理解概念和定理，从而在其框架和规则之下研究问题，这才是真正的智慧.事实上，在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础，正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提，以下我们从课本的例题出发谈谈如何回归概念进行推理与证明，

例1 证明：不是有理数.

分析 命题中需要证明的对象不是有理数，而我们只有关于“有理数”的概念，因此只能从有理数的概念出发，即否定命题，使用“反证法”，即有如下证明：

证明假设是有理数，则可设=q/p①，其中p，q为互质的整数，q>0.

将①式的两边平方，变形后得2p²=q²②.

②式表明，q²是2的倍数，从而q也必是2的倍数，于是又可设q=2l（l是正整数），代人②式，整理后得p²=2l²③.

③式表明，p²是2的倍数，所以p也是2的倍数.

这样，p与q都是2的倍数，它们有公约数2，这与p，q为互质的假定相矛盾，因此，√2不是有理数.

回顾 该证明方法称为反证法，是间接证明的一种，反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定（即肯定原命题）的过程.

变式 证明：1，，3不可能是一个等差数列中的连续三项，

分析 我们无法刻画一个不是等差数列的连续三项，因而可以转化等差数列中的三项.于是采用反证法，寻找矛盾点，最终肯定原来的命题，

证明假设1，，3是一个等差数列中的连续三项，则2=1+3.

平方得，8 =16，這与事实相矛盾，因此1，，3不可能是一个等差数列中的连续三项.

反思 从证明的角度来说，我们所做的一切均是顺理成章的;从形式的角度来说，这个等式是显然不成立的，因为一个无理数不能等于一个有理数，带着这样的思考，我们考查2008年江苏省高考的数列问题.

链接（2008江苏卷节选）（2）求证：对于一个给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差都不为零的等差数列b1，b2，…，b_n，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列.

分析 类似于变式，我们无法直接说明任意三项都不能组成等比数列;但是其对立面的概念倒是十分清楚，即存在三项组成等比数列，因此便得到合理的等价转化.

提升 容易发现，高考题源自课本，高于课本，要求我们要对问题的本质与形式进行合适的选择和处理，从而才能得到真正有效的解决，因此需要对题干中的概念和表述进行分析，从而合理转化，

诚然，数学的学习需要靠“解题”来巩固和训练，但是不是靠“刷题”来强化和提升，其实更需要的是，对一个问题的思考以及解题后的反思，这样才能对数学思维和数学理解有提升的效果，单墫先生对“解题过程”通常有两种理解，一种是狭义的，一种是广义的，狭义的理解是指：“求得所遇到的或所给的数学问题的结果”，即“尝试→求解→得结果”的过程;广义的理解是不仅包括“尝试→求解→得结果”的过程，还要包括总结，也就是“尝试→求解→得结果→总结”的过程.其中“总结”是解决数学问题中最重要的一环，把握这一环的优与劣，从根本上决定了一个人解题能力的强弱，

根据 例1系列问题的解决，我们可以总结发现：从技术层面来说，用反证法证明命题“若p则q”的过程可以概括如下：肯定条件p否定结论q→导致逻辑矛盾→“p且q”为假→“若p则q”为真;从思维层面来说，用反证法可以反客为主，将结论变成条件，从而可能更有利于从概念出发，研究和分析问题，取得更好的进展，

分析 本题中，条件是因变量的大小关系，而结论是自变量的大小关系，意图是用因变量的大小去控制自变量的大小，这样的技术难度就在于“逆用单调性”，那么我们可以试着“正用单调性”，从而选择反证法.

回顾 函数单调性的定义就是用自变量的大小去判断因变量的大小，因此使用反证法之后就可以将结论作为条件，从而契合单调性的定义，开辟了一条顺向的思维通道，

反思 虽然与例2中证明不等关系不完全一致，但是依旧是从因变量的相等去判断自变量的相等，因此可以选择将“自变量的大小”作为条件，从而选用“反证法”.在这样的思想指导下，可以比较顺利转化、解决下面这道函数问题.

分析 前面两小问都是常规问题，关键在于（3）的认识.如果我们从例2分析的角度出发，我们不难发现，这是一个由因变量的值来控制自变量的值的问题，于是想从“单调性”的顺向思维出发，选择“反证法”.

提升 数学是一种游戏规则，需要运行方向和操作流程，一旦不按照这样的规程来处理，就有可能出现问题.作为“单调性”这样的规则而言，就是指用自变量的大小去确定因变量的大小，如果顺向处理则十分顺利，如果逆向处理则十分困难.由此来说，如果结论出现自变量的大小，那么就需要反客为主，变被动为主动，最终成就问题的解决.

反证法，是我们常用的间接证明方法，往往讲到的是“正难则反”，那么何为“正难”？从概念的理解来说，命题中出现了非概念从属关系，或者逆概念定义规则的状况，我们为了恰当使用概念，从而将目标结论加以否定，变成我们所理解的概念，也变成我们推理的条件，因此能很好地解决问题.

数学概念的理解也是对“数学游戏规则”的理解与认识，其实不是一种外在的强制，而是一种内在的自由，即“知道就是按知道的做”且“不知道就不能随便做”，因此才能做到“从心所欲不逾矩”，实现解题中的自由自在.