如何找到思维的开窍点

安振平

1.问题呈现

笔者看到，唐秀颖先生主编的《数学题解辞典（平面解析几何）》（上海辞书出版社，1983，06）-书的第38题为：

问题1-1：已知三平行线l1，l2，l3.l1与l2之间，l2与l3之间的距离分别为a，b.正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，求此正三角形的边长.

这道经典的题目，通过加工，竟然出现在2007年四川高考理科卷上.

问题1-2：如图1，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是（ ）

2.解题分析

本考题条件简明，情境设置独特，不少考生望而生畏，不知如何求解.

解题思维的起点，来自于深度的理解题意，翻译题意，实施文字语言、图形语言和符号语言的转化.把平行直线“l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2”显示为图形语言，就需要作出题目中平行线的垂线段，垂线段作在哪里呢？

分析1 设出正三角形的边长，通过勾股定理，建立方程.

解法1 如图2，过点A作AF⊥l3交l2于点E，交l2于点F，过点B作BD⊥l3交l3于点D.则AE =l，BD =EF =2.

设正△ABC的边长为x.

对Rt△BCD，Rt△ACF和Rt△ABE，应用勾股定理，得

说明 本解法用到的知识仅局限于初中范围，设元，构造方程，把无理方程转化为有理方程，检测了考生的基本运算能力.当中的“平方两次”的技巧，这是高中教材“椭圆标准方程”的推导过程中用过的方法.当然，本方程也可以探究其他的技巧解答方法，留给读者去完成.

解题思维的要害、开窍点在哪里呢？同一条线段DF的长度“算两次”.对三个直角三角形，应用了三次“勾股定理”.

分析2 设出正三角形的边长和图2中Rt△ABE的一个内角，通过锐角三角函数的定义，建立方程组.

解法2 如图2，设正△ABC的边长为x，∠ABE =θ，则∠EBC-60°-θ=∠BCD.

对Rt△ABE，Rt△BCD，应用锐角三角函数的定义，有

说明 本解法在列方程组时，仅用到初中范围的知识，但解答需要用到高中的三角公式，巧妙设出角度，应用方程组的观点，借助三角恒等变形，代数运算量要简单一些.

解题思维的要害、开窍点在哪里呢？在于巧设角度和边长两个变量！对两个直角三角形，两次应用了“正弦的定义”.

分析3 从图3中两个直角三角形的相似，设出正三角形的边长，而后应用余弦定理、三角形面积公式构造方程，通过方程方法求解之.

说明 本解法在计算三角形面积时，既用到小学教材里的三角形面积公式，又用到了高中教材里的三角形面积公式，这是最为核心的基础知识，

解题思维的要害、开窍点在哪里呢？同一个三角形的面积，从不同角度“算两次”，就自然获得了需要的方程.

看来，在用条件的过程里巧设、妙列，才可能简单求解，当中，“设、列、解”，值得玩味1

3.变式思考

思考1 对上述解法1里获得的方程，给出类似的问题，就有：

说明 发现了方程表示曲线的对称性，从“方程”变更为“函数”就显得那么自然，区域的“直观”呈现就水到渠成.

数学解题，需要邏辑推理，需要数学抽象，需要构造模型，更需要代数变形和几何直观.转化的功力是解题能力的具体呈现，把陌生问题熟悉化，复杂问题简单化，未知问题已知化.正如上文中的“无理化有理”“几何化三角”“绝对值化分段”等等.

我们可以从这样的分析问题、发现问题、提出问题和解决问题的“修炼”过程中，体验数学学习的奇妙，感悟数学思维的味道.