均值不等式及其推广的应用

漆杰熙

摘要：本文从经典的平均值不等式出发，首先介绍了多元均值不等式的内容，并给出了它的一个应用;其次将多元平均值不等式进行了推广，借助矩阵知识给出了平均值不等式的更一般的形式，并且指出了该形式下的平均值不等式和其他一些经典不等式的关系。

关键词：均值不等式;矩阵;柯西不等式;幂平均不等式

数理科学方方面面都有不等式的影子，不等式的种类也是非常广泛。例如平均值不等式、解析不等式、概率不等式、函数不等式、变分不等式、几何不等式、微分不等式、积分不等式等。数学不等式分为纯粹的数学不等式和应用不等式。纯粹的数学不等式包括常见的平均值不等式、柯西不等式等;应用不等式的例子像概率不等式、线性规划等。在管理学和工程学中往往需要求问题最优解，但不少时候是得不到解析解的，往往不等式就是解的代替。有关统计结果显示，在Linear Algebra and its Applications 杂志上发表的论文中，有至少百分之三十的论文与不等式有关系。因此对于不等式的研究就显得非常重要。本文主要探讨平均值不等式及其推广的应用，并将一些常见的不等式有机的结合。

一、均值不等式及其应用

在不等式理论中有一个很经典的均值不等式，其大意为，若

有

上述等号成立当且仅当

均值不等式的应用是非常广泛的，尤其在其他较难不等式的证明，以及函数单调性证明中有着非常巧妙的运用。下文的例子给出了关于该不等式的一个应用。

证明数列

是单调递增的。

证明：由均值不等式可以得到，

其实例题1.1可以利用构造函数的办法，借助导数工具给出解答，只不过该办法比较繁琐，而上述均值不等式的方法相对简洁很多。

二、均值不等式推广

对于第一小节均值不等式我们可以利用矩阵的观点给出一个更一般的结论，该结论由引理2.1给出。

引理2.1对于一个的矩阵[aij]mn，即

并假设，

则

首先我们给出引理2.1的证明，记

如果

使得

=0，那么必定有

因此必定有

此时引理2.1成立。

如果

利用均值不等式有下式成立

對上述m个不等式相加可以得到

相加后的不等式的左边为，

相加后的不等式的右边为，

因此我们有，

即可以得到，

引理得证。

接下来给出该矩阵不等式的几个应用。

例2.1 设

，求证

证明：构造矩阵如下

由引理2.1可以得到，

整理即可得到，

例2.2 设

求证

证明：构造矩阵如下

由引理2.1可以得到，

整理可以得到，

例2.3证明柯西不等式成立，即

证明：构造矩阵如下

由引理2.1可以得到，

上述不等式平方，即可得到柯西不等式。

柯西不等式是非常经典的不等式之一，柯西不等式的证明方法也是非常多的，本文从推广的均值不等式给出了一种证明方法。

例2.4证明数列

是单调递增的，其中n为大于等于2的固定整数，

证明：构造矩阵如下

由引理2.1可以得到，

化简可以得到，

即

例2.4其实是经典的幂平均不等式的特殊情形，比如当取k=1和k=2时，我们可以得到算术平均值和平方和平均值的不等式关系。

三、小结

平均值不等式的形式多种多样，比如本文给出的矩阵形式的平均值不等式就是一种更一般的平均值不等式。其实不同形式的平均值不等式有着紧密的联系，比如我们可以利用矩阵形式的平均值不等式轻松得到幂平均不等式和经典的柯西不等式。

参考文献：

[1]李鹏程.由幂平均不等式引发的猜想[J].广东广播电视大学学报，2003，12 （4）：82-84.

[2]祁锋.浅谈数学不等式理论及其应用[J].焦作大学学报，2003，17 （2）：59-64.

[3]王涛.从平均值不等式到矩阵论思想方法[J].长沙民政职业技术学院学报，2006，13 （2）.