重构单元 凸显整体

金千千 张秋爽 鲁静华

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”由此可以看出，正确计算、理解算理、用合理和简洁的运算解决问题是运算教学的主要目标。

对于“整数乘法”的教学，教材中是循序渐进进行编排的，从乘法口诀到两位数乘一位数、两位数乘两位数、三位数乘两位数，都是把一个个新问题转化为旧知识解决的。如何体现对主题的整体把握，能否一以贯之地让学生感受到这样算的道理？这就需要教师在教学中从具体问题情境出发锻炼学生提出问题和发现问题的能力以及对数和数量关系的感悟，让学生充分经历算法多样化的过程，从而提高学生的运算能力和推理能力，在优化方法中发展学生思维的深刻性和敏锐性。以下是我们对三年级“整数乘法”中的三节核心课——“两位数乘一位数”“ 两位数乘两位数”“ 乘法竖式的历史”的思考和实践。

一、单元内容分析

（一）有关“乘法”内容的教材编排分析

北京版教材中对于乘法的教学有三个层次：乘法的初步认识、乘法口诀是第一层次，多位数乘一位数、两位数乘两位数、三位数乘两位数是第二层次，小数乘法是第三层次（如下图）。

第一层次是认识乘法意义，利用表内乘法，算出结果。

第二层次是两位数乘一位数、两位数乘两位数以及三位数乘两位数，运算包含了分与合的思想，通过拆分与合并转化成表内乘法进行计算，在记录的过程中用到了竖式，体现了十进位值制，因而变得简洁。分与合和十进位值制就是学生的生长点，他们能够通过对比口算和竖式体会到位值在竖式中的重要作用。

第三层次是小数乘法，利用积的变化规律转化成整数乘法。

（二）有关“整数乘法”的教材编排分析

第二层次的学习承上启下，梳理第二层次的具体内容如下图。

本层次的学习结构相同，都在解决问题中经历口算、笔算和估算。整数乘法的计算道理也是相同的，在理解乘法意义的基础上，运用分与合思想把新知变旧知，凸显位值在笔算中的作用。

（三）有关乘法竖式历史的分析

乘法竖式一开始就是这样的吗？带着这样的疑问，查阅相关资料，梳理了乘法竖式的发展过程。

乘法竖式经历了漫长的演变过程，学生了解乘法竖式的演变过程，有利于辨析与勾连不同竖式形式的内在联系。

二、学情分析

三年级的学生已经理解了乘法的意义，掌握了2～9的乘法口诀;有了用分与合的方法进行计算的经验;思维由具体形象向抽象逻辑过渡，初步具备一定的遷移能力。

前测题目：请根据你的学习经验， 尝试计算6×10， 写出计算过程。

有98.1%的学生能正确计算出结果，且学生有多种策略解决整十数乘一位数的新问题。有的画图数出结果（十个一组圈起来），有的用加法6+6+6+6+6+6+6+6+6+6=60，有的用分与合的方法计算……

三、单元整合  跨册重组

学生虽然在乘法计算中积累了一定的经验，但并不明晰不同方法背后的道理。如何让学生体悟方法间的内在联系？如何在不同方法的比较中选择简洁的运算方法？如何体会分、合思想与位值在计算中的价值？ 笔者根据“最近发展区”理论，对整数乘法进行了重构，设计了单元整体教学，意在激发学生的学习潜能。

（一）单元整合，减少课时

首先将三年级上册中的多位数乘一位数进行整合，依据是学生已经掌握整十、整百数乘一位数的口算，可以很好地对多位数乘一位数的竖式学习进行迁移。所以将口算、笔算合并，减少了6课时。

其次将三年级下册中的两位数乘两位数进行整合，依据是：整十数乘整十数口算有困难，需要学生着重理解算理，所以将它保留。整十整百数乘两位数口算和笔算内容结构相似，可以进行知识整合，口算、笔算合并后，减少了3课时。

（二）跨册重组，紧密连接

将三年级上册中的多位数乘一位数、三年级下册中的两位数乘两位数放在同一单元进行教学，依据为：内容结构相同，算理相同，重组后连接更紧密。在此基础上引入乘法竖式演变历史，学生能发现其内在联系，同时也能对两位数乘两位数进行巩固运用。

下学期再进行多位数乘多位数的教学。

重组后，整数乘法间的连接更加紧密，学生能在学习的过程中感受知识的共性：确定计数单位及计数单位的个数，位值让竖式更简洁的道理。同时积累学习经验：用分与合的方法把新知变为旧知，在运算的过程中要逐步求简。

（三）把握核心课，凸显整体

重组过程中，三节核心课也凸显出来。

“两位数乘一位数”重点为：在多种分合方法中，体会按计数单位分的重要性。

“两位数乘两位数”重点为：在竖式形成中，体会竖式计算简洁的原因——位值。

“乘法竖式历史”突破点为：在对不同时期、地区竖式的对比中， 抽象出竖式记录的共同点——利用分与合思想，解释竖式逐渐优化的过程及原因。

三节课层层递进，都为发展学生的运算能力服务。

四、核心课教学活动设计

“两位数乘一位数”“两位数乘两位数”“乘法竖式的历史”三节课设计了如下4个核心活动。

核心活动1：对比方法，体会按计数单位分的作用

1.情境导入，激发学习兴趣

教师出示情境：新学期开始了，小明下决心严格按照计划完成任务。让我们一起来看看他的计划吧。你能提出哪些数学问题？

算一算：小明一周要跑多少千米？（口算）小明一周要做多少个俯卧撑？（算式板书在黑板上）

师：生活中会遇到乘法口诀不能解决的问题。这节课我们就来研究这样的乘法怎样计算。

（设计意图：通过学生熟悉的生活情境，引出两个乘法算式，锻炼学生发现问题和提出问题的能力，顺势导出所学内容，调动学生学习的内在需求。）

2.探究新知，经历算法多样化

学生自主探索计算12×5，教师巡视并收集学生出现的典型算法，然后分层次呈现和交流。

呈现学生的多种算法并分类。

① 12+12+12+12+12=60。

② 2×5=10，10×5=50，50+10=60。

③ 6×5=30，6×5=30，30+30=60;

5×5=25，7×5=35，25+35=60;

4×5=20，8×5=40，20+40=60;

3×5=15，9×5=45，15+45=60。

师：12怎么拆分都可以吗？

学生展开讨论，并得出结论：怎么分都可以，都是把12×5分成了两部分，再合起来。

师：请大家计算13×9。

学生继续用分与合的方法计算13×9，可分着分着就出现了不一样的情况，教师有针对性地提问学生。

针对性提问1：

对刚才用12+12+12+12+12=60计算的同学：你怎么不用刚才累加的方法了？

生：这次是乘9，还有可能乘更大的数，要都变成加法算就太麻烦了。

师：你特别会思考，能根据不同的情况调整自己的计算方法。看来要算大一些的乘法，变成加法计算不太好算。

针对性提问2：

對用10×9=90，3×9=27，90+27=117方法计算的同学：这次怎么这么多人用这个方法呢？ 谁来说说你的想法？

生：13×9，拆成别的数不好算，就拆成3和10了。

师：看来这次大家都认为拆成“10”的方法比较好。

针对性提问3：

对用9×9=81，4×9=36，81+36=117方法计算的同学：你有什么新想法？

生：我的方法不好算，他们的方法有一个整十数直接加就可以了。

师：看着黑板上这些不同的算法，你们有什么想法？

生：我觉得如果数越来越大，用加法计算肯定算得慢。

生：12×5比较好拆，拆完的数也比较好算。但是13×9就拆成有10的比较好算，其他的拆法不好算。

生：有10就好算，算起来正好是整十数。

师：你思考问题一针见血。10很神奇，不管我们把12拆成10和2，还是把13拆成10和3，都是因为有了10，计算才变得简单。

（设计意图：经历这样的过程，学生体会到在不同的分与合方法中，按十进位值去分最简洁，为理解算理打下基础。）

核心活动2：交流沟通，体会“理”“法”联系

1.交流竖式算法

学生交流竖式计算的方法，教师提问：用竖式是怎样算出结果的呢？

生：先算5×2=10，满十进一，再算1×5=5，5+1=6，所以等于60。

（注：学生表述有问题，教师在此不给予纠正，在沟通联系时再进行纠正。）

2.沟通联系，打通算理

（1）沟通竖式和横式的关系

教师引导学生对比横式和竖式之间的关系，体会竖式每一步的算理。

问题串如下：

横式里2×5=10，竖式里有10吗？

→这一个小小的进位1怎么就能表示10了呢？

→横式里有10×5=50，竖式里怎么就是1×5了？到底是1还是10呢？

通过问题串，沟通竖式和横式的关系，明晰竖式的算理。

（2）沟通竖式和加法的联系

师：如果把连加的竖式换个写法，还是竖式的形式，你看出其中的联系了吗？

生：这样个位上也是5个2，十位上也是5个10，竖式和横式都一样，就是写法不一样。

教师引导学生观察三种方法间的联系：

至此，几种不同的算法在学生眼里有了一样的联系，都是先算出个位上有几个一，再算出十位上有几个十。

3.比较方法，体会竖式的优越性

师：既然几种方法是一样的，我们为什么要学习竖式呢？ 因为竖式简洁，竖式简洁的原因就是数位起了作用，正是因为数位都对齐了，每一位有每一位的值，所以才不会重复且又好算。

（设计意图：两组核心活动，让学生对位值有了多次感知，对乘法竖式也不再是表面上的理解，而是在不断的对比中明晰“理”“法”。）

核心活动3：点子图助力突破难点，“四块变两块”合理过渡到“一层变两层”

对算式12×15，学生想用竖式计算但无从下手，针对此情况，教师引导学生回顾以前的学习经验。

学生用分与合的方法计算12×15，把12和15都拆了，10×10=100，2×5=10，100+10=110，计算结果并不正确。

借助点子图进行验证，发现这样拆分后少了两块，少算的两块分别是5×10和2×10。补充完整算式，得到12×15的正确结果。

10×10=100， 2×5=10，  5×10=50，2×10=20，

100+10+50+20=180。

学生提出疑问：上节课的点子图只分成了两块，这节课的点子图分成了四块，有没有办法变成两块呢？

尝试后，合并成如下两种情况：

12×10=120，              15×10=150，

12×5=60，                    15×2=30，

120+60=180                 150+30=180

师：计算12×15，三个横式太麻烦，能不能用竖式记录呢？

学生尝试用竖式记录，有的同学列出三个小竖式，有的直接写答案（如下图）。

学生认为三个竖式也麻烦，后者看不出是怎样算出结果的。

在这样的质疑中，一个共同的需求产生了：怎样才能既简洁又体现出计算过程？一层变两层呼之欲出。

再次借助点子图，分析计算过程：先算5个12，再算10个12，最终得到两层竖式，同时发现两层竖式也是先算出有几个一、几个十，再合起来。

（设计意图：借助点子图引导学生深入思考，突破了一层变两层的难点。学生充分体会分与合在计算中的价值——新知变旧知，位值在笔算中的价值——简洁。）

核心活动4：在不断读懂和比较的过程中 ，体会竖式简洁的原因

在本单元的最后安排了“乘法竖式的演变历史”一课，呈现了不同时期、不同国家的乘法竖式。对每一种竖式的出现，教师都提出两个问题：你看懂了吗？你能进行比较吗？学生运用上两节课的知识经验进行解读，在比较过程中，发现其内在联系，体会删繁就简的历史发展过程。

（设计意图：引入竖式演变史，让学生在数学发展的长河里充分感受竖式形成的过程。通过历史资料的分享，让学生了解不同时期不同地区不同形式的竖式表达方式，了解知识的发展过程，让数学课堂更有深度。）

这一单元的学习打破了教材的编排顺序，进行了单元整合和跨册重组，丰富了教学内容。整合后虽然减少了课时，但整数乘法的连接更加紧密，学生能够感受到知识的共性，便于将算理算法明了于心，也为后续体会算理提供了发展空间。

整合后的单元教學以“问题情境”为依据，以“求知的态度”（即说清楚算理、归纳出算法）为基础，在“辩一辩、论一论”的过程中培养了学生与人合作的方法：倾听、基于证据的质疑和辩论、尊重别人的看法以及善意的提醒等。

（北京市顺义区杨镇中心小学校    101300

北京市顺义区教育研究考试中心教研室  101300）