直观中洞察 思辨中建构

2019-09-09 06:34:07 教学月刊·小学数学 2019年8期

张翼文 章辉

课例研究更需厘清的一种边界

作为一种行之有效的教研方式,课例研究正越来越被教师所接受和采用。如何使之发挥有效作用,不少一线教师和专业研究者也做了不少探索,并从如何聚焦主题、深化过程和成果整理等诸方面提出了许多可鉴的主张。囿于工作的特性和思维的习惯,一般教师的确会更多关注程式层面。事实上,有一类情况必须引起大家的高度重视,即研究命题本身的科学性问题。这里既有针对学情所应把握的研究边界或深度问题,或言之,究竟可以将原有教学任务和教学目标拓展和“拔高”到何种程度?也有拓展或拔高的内容即本体性知识是否正确?如果只是凭借“万户飞天”的勇气,罪莫大焉!课例研究不仅要解决到哪里去的问题,更要明白从哪里出发,乘着什么样的航船出发。再言之,就本体性知识的表述而言,是否存在学理性表达方式和“教学性表述语言”的区别?凡此种种,在课改深入推进的当下,都应当引起大家的关注。研究的风险和边界需要科学地厘清。实际上,不少一线教师尤其是一些资深教师随着自身研究视野的拓宽和研究问题的深入,已经开始意识到上述问题恰是他们这些具有一定研究基础的教师更易产生的问题。基于编辑部和相关教师的共同体认,本期特别选取一典型案例进行讨论,并呈现不同专家和实践教师的讨论实录,以期抛砖引玉,引发大家共同的思考。特别感謝本期案例的提供者以及参与相关讨论的原杭州师范大学的部分学科专家和专业研究团队的相关专家和其他一线教师。

【教学内容】人教版教材四年级上册P56-57 。

【教学目标】

1.知识技能:认识平行与垂直相关符号,理解平行与垂直的概念,掌握判断平行与垂直的方法。

2.数学思考:通过观察、思考、概括等实践活动,感受相交与不相交的位置关系,理解平行与垂直关系形成过程,逐步提高抽象概括能力。

3.问题解决:通过观察、比较、实践、交流等数学活动,逐步形成直观洞察意识,提高空间想象的能力。

4.情感态度:通过系列数学学习活动,体验数学知识体系的结构美,激发对探索数学本质的兴趣。

【教学重点】理解两条直线平行与垂直的关系。

【教学难点】体验“异面”内两条直线位置的辩证统一关系,凸显空间观念的培养。

【教学过程】

一、直接导入

师:今天我们来研究两条直线之间的位置关系。

(设计意图:直白也是一种数学课堂美。此处直接揭示课题,让学生直接、有效、自然地进入学习状态,开启数学奇妙探索之旅。)

二、新知展开

1.动手实践,初步感知两条直线位置关系

(1)出示问题,学生实践。

师:同学们,看大屏幕,这里有条直线a,直线外有一点O,过O画一条直线,你行吗?

师:你有几种不同的画法呢?老师给你们每人准备了几张作业纸,请你把想法画在上面。

(学生活动,过程略)

(2)收集作品,展示分享。

师:老师从同学们那里收集到了很多特别美观的作品,请大家一起来欣赏。(展示学生作品)

(设计意图:此环节通过画一画的实践活动,充分尊重与激活学生的已有经验,让学生在动手实践中初步感受两条直线之间的位置关系。同时,在实践中也可以自然生成后续学习所需要的素材,从中也落实对学生动作直觉思维的培养。)

2.组织分类,感受相交与不相交关系

(1)分类活动,感知属性。

师:为了大家能看得更清楚些,老师把相类似的作品统一展示出来。

师:请观察五幅作品,你能根据两条直线的关系,把它们分成两类吗?

生:相交:①②③,不相交:④⑤。

生:相交:①②③⑤,不相交:④。

(2)争论说理,明晰本质。

师:同学们,对于⑤号作品出现了两种声音,有认为是相交的,有认为是不相交的,数学是需要讲道理的。请双方各派一名代表来说说理由。

生:像作品①②③这样,相交是有明显交点的,而作品⑤没有,所以是不相交的。

生:作品⑤目前看是没有交点,但是直线有一特性,它可以向两端无限延长,延长后就有交点了。

......

师:现在大家支持哪个观点呢?

生:作品⑤是相交的!

(师结合课件演示作品⑤是相交关系)

(设计意图:此环节中,在⑤号作品的归属问题上,全班同学自然地产生两个阵营。教师有意组织正反双方进行说理争论!争论的过程就是对本质内涵的明晰认同过程,最后自然地达成一种学习共识。)

3.深入感知,洞察平行的本质属性

(1)图形直观,深入洞察。

师:刚才我们对作品⑤有了争议,最后我们根据直线的特点,也明白了作品⑤两条直线位置关系是属于相交关系,现在张老师把作品④与⑤一起请出来考考你们的眼力,请用你的火眼金睛观察作品④与作品⑤,说一说为什么作品⑤两条直线一定会相交,而作品④的两条直线一定不相交呢?(四人小组交流)

④                                           ⑤

生:我借助格子图,发现作品④中直线a和直线b之间都保持3格状态,而作品⑤中直线a和直线b不是一直保持3格状态的。

师:如果延长作品④中的直线a与直线b,那么它们之间还是保持3格状态吗?你发现了什么?(课件演示动画)

生:永远都是3格,所以两条直线永远不相交。

......

(设计意图:我们知道,要使学生进入深度学习状态,关键还是看教师是否懂得学生的思维需要什么。此环节中教师提问:“你们怎么知道作品④两条直线是永远不相交,而作品⑤两条直线是相交的呢?”学生有了格子图为背景,即有了思维的“脚手架”,思维指向就会倾向于两条直线为什么互相平行的本质属性——两条直线间的距离总是保持不变的状态。同时,通过平移其中一条直线,它们之间也保持相同距离,也就是永远不相交。)

(2)运动变化,深入感知。

师:如果现在把作品④中的直线b向上平移1格,那么这两条直线会相交吗?为什么?

生:不相交!因为它们之间永远保持4格状态。

师:如果现在把直线b向下平移2格,那么这两条直线会相交吗?为什么?

生:不相交!因为它们之间永远保持2格状态。

师:如果现在把直线b向下平移1.5格,那么这两条直线会相交吗?为什么?

......

师:试想一下,如果直线b一直向下平移,最终会与直线a发生什么现象?

生:直线a和直线b会重合。

......

(设计意图:数学学习是一个由表及里、层层递进、不断深化的过程。此环节通过直线的多次平移运动,让学生直观感受到,虽然直线位置发生了变化,但是它们之间保持的状态是不变的。这种状态保持不变,也成就两条直线永远不相交的关系,这充分体现了数学变与不变的关系。)

(3)适机总结,明晰概念。

师:像这样在同一平面上,两条直线永远不相交,称为这两条直线互相平行。数学上可以表示为a[?]b,或者b[?]a。

(生相互读一读,说一说)

4.练习跟进,加深理解

师:接下来我们继续画一画直线,比一比在规定的时间内谁画得多。给大家30秒时间,过直线外一点O画直线。

(学生活动)

师:如果张老师再给你时间,你还能画吗?

生:能!

师:如果给你充足的时间,你能画多少条呢?

生:无数条!

师:那过O点画的无数条直线中,你能找到几条跟直线a是互相平行的呢?

(生答1条,并指一指,说一说)

师:那其他无数条直线都跟直线a是什么关系?

生:相交!

(设计意图:心理学研究表明,学生的学习选择性刺激越强,在脑中留下的表象就越深刻,从而对意义本质的理解也会更深入。此环节学生通过再次动手实践画直线,感受过一点所画直线数量的无限性,然后在无数条直线中找出与对应直线保持平行关系的直线,突出唯一性。同时也体现两条直线平行的位置关系之特殊性,更进一步厘清直线相交与不相交的两种位置关系。)

5.自主建构,在辨析中明晰垂直关系

师:刚才同学们过O点画了无数条直线与直线a相交,现在老师随意地从无数条相交的直线中找出几条(如下图)。

师:这几条直线中,哪一条与直线a相交得与众不同?说说理由。

生:直线d与直线a相交与众不同,因为它们相交成直角。

师:请同桌指一指四个直角,并标上直角符号。

师:两条直线相交所组成的角为直角时,称它们互相垂直,其中一条直线叫作另一條直线的垂线。数学上可以表示为a⊥b或b⊥a。

(设计意图:学生进入深度学习推进的过程,其实是一个不断自主明晰、自我完善与自我建构的过程。此环节教师从众多与直线a相交的直线中有意地选择几条,让学生进行甄别。学生自然地进入自我选择与自我建构的状态,对两条直线相交的特殊情况之互相垂直关系的认识水到渠成,同时也突显垂直关系的特殊性。)

三、感受“异面”内两条直线位置的辩证统一关系

1.发挥想象,感受线动成面

师:两条直线互相平行在电脑屏幕这个平面上,可以说是“同面,永远不相交的两条直线,互相平行”。

师:前面已知道,如果a//b , 那么直线b(或者直线a)平移到任何位置都将与直线a(或者直线b)平行或重合,直线b可以上下平移并停留,请问它有多少处地方可以停留呢?

生:无数处地方可以停留。

师:如果无数处地方停留,每处停留地方的痕迹用淡灰色显示,这些痕迹将会形成什么样子呢?

生:会形成一个淡灰色的平面!

(师结合课件演示线动成面的状况)

......

(设计意图:学习过程是一个经验积累的过程,前面学生在感知平行的本质属性时,教师通过多次直观动态平移直线及引导想象,让学生体验两条直线永远保持不相交状态的情形,也让学生感受到直线平移位置的无限性,从而为学习活动的深入进行而积累经验。)

2.理性辨析,在活动与想象中内化“异面”内两条直线位置的辩证关系

(1)活动生成,“异面”两条直线位置关系。

师:同面,永远不相交的两条直线,互相平行,即a//b;有同面,必有异面。如果把直线b请出电脑平面,到纸板平面上,这时候直线a与直线b看似不在一个平面了,也就是直线a与直线b成为“异面”上的两条直线。

师:这样“异面”的两条直线,它们可能互相平行吗?老师已经为各小组分别准备了学具,请你们相互摆一摆,议一议,说一说。

(生活动并展示,有可能平行,也有可能不平行)

(2)想象感知,体验不同平面内两条直线位置的辩证统一关系。

师:第一种异面的两条直线永远不相交,是互相平行的,那么请大家想象,平移直线a慢慢向直线b靠近,直线a平移留下的痕迹将成一个面。你们能用手比画一下这个面吗?

(生比画想象,生成第三个面)