关注数学核心素养 促进学生深度学习

高建成 吴鹏 俞华锋

摘    要：嵌入式拓展课程在课堂教学中，紧随基础课程之后，对一内容进行方法和思维上的拓展而形成的课程.嵌入式拓展课程借助于知识的发展过程，充分揭示其背后的方法、思想、观点和精神，促进学生去应用、评价和创造.

关键词：嵌入式拓展课程;核心素养;深度学习

2019年4月下旬，笔者在杭州市余杭区仁和中学观摩了基于杭州师范大学刘堤仿教授课程研发成果的“矩形”第一课时的展示课.本节展示课以一种新的形式进行，即前30分钟由一位教师按照传统的教学方式上课，学习矩形的基本知识与方法，称之为基础课程;后20分钟由另外一位教师对同一内容进行方法与思维的拓展，称之为拓展课程.由于这种拓展课程紧随基础课程掌握之后，并没有单独安排固定的时间进行上课，故称之为嵌入式拓展课程.对于教师而言，需要提前分析“矩形”这一节所蕴含的数学核心素养，抓住知识的生长点，实现课程内容的自然生成与无缝对接;对于学生而言，在掌握矩形基础知识和基本技能的同时，需要更深层次地拓展运用，促进深度学习，有效提升思维水平.整节嵌入式拓展课程的教学过程，给笔者留下很多启发与思考.

一、案例呈现

第一部分   基礎课程的教学

第一部分由王老师执教，以下是教学过程.

（一）复习回顾

平行四边形的性质（口答）.

（二）观察探究

观察：如图1，边长比为1∶2的平行四边形有什么共同特点？

探究：（1）有多少个不同的平行四边形？它们有什么共同特点？

（2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？说出你的理由.

（三）新课探究

定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（板书）.

请同学们用几何语言表示矩形的定义，并说明为何长方形、正方形都是矩形.

想一想：请举出在人们日常生活和生产实践中，有哪些是矩形？生活中难免要接触到矩形，所以研究矩形的特点就很有必要，下面我们来看看矩形有什么样的性质！

1.探索矩形的性质.

[ 平行四边形 矩形 共性 个性 边 两组对边分别平行且相等 两组对边分别平行且相等 角 两组对角相等 两组对角相等 对角线 对角线互相平分 对角线互相平分 对称性 中心对称图形 中心对称图形 面积计算方式 底×高 ]

2.合作探究.

小组讨论：矩形还有哪些特殊的性质？你如何得到？在学案上写一写并与同学交流！

3.思考：矩形对角线交于点O，图中有哪些特殊的三角形？多少个直角三角形？多少个等腰三角形？多少对全等三角形？

（四）例题学习

例1   已知：在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm. （1）判断三角形AOB的形状;（2）求对角线的长.

（五）课堂小结（略）

第二部分 拓展课程的教学

第二部分由俞老师执教，俞老师选用了矩形中的折叠问题.

活动：按要求作图（尽可能尺规作图）.

如图2，已知四边形[ABCD]是矩形，将矩形沿对角线[BD]折叠，使点[C]落在[C']处，[BC']交[AD]于点[E].

探究一：在你画的图形中，请你找出所有相等的线段;

探究二：在你画的图形中，请你找出所有全等的三角形;

探究三：若AB=4，BC=8，求AE的长度.

变式练习：

1.如图3，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E在边AD上，连接BE，将△EAB沿BE翻折得到△EA′B，延长EA′交BC于点F，若四边形EFCD的周长为9，求AE的长.

2.如图4，已知点E是矩形ABCD中AD边上的一点，将四边形BCDE沿直线BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为C′，D′，若点A在C′D′上，且AB=5，BC=4，求AE的长.

3.在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.如图5所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动，若限定点P，Q分别在线段AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为           .

二、案例感悟

细节处显素养，两位教师在上课中都彰显了很好的数学素养，王老师能够带领学生从文字语言、图形语言、符号语言角度理解矩形的定义，时时渗透“用数学的眼光观察世界”，俞老师带领学生用精准的尺规作图进行作图的叙述，时时培养学生“用数学的思维思考世界”及“用数学的方法解释世界”，但也存在以下问题.

（一）挖掘了图形联系   但渗透数学思想不足

证明矩形对角线相等的过程，考验了学生思维的灵活性以及运用已有数学知识解决问题的能力，大多数学生都能想到证明两个三角形全等.作为矩形，四个内角为直角，可以借助直角三角形的勾股定理解决，个别学生可以想到，同时，有少数学生想到直角三角形斜边中线等于斜边一半，矩形对角线互相平分的性质（如图6）.

一题多解提升了学生思维的灵活性，但题后反思与方法优化不够.矩形被对角线分成三角形，矩形的问题可以转化为相关三角形的问题，化归转化思想提供了解题的策略.让学生知其然的同时知其所以然，最后能够达成知其然知其所以然，真正达到深度认知.

（二）划分了认知层次   但指向高层次思维不够

在教学过程中，教师要关注学生的思维认知水平，及时调整教学策略，真正做到有针对性的教学.

从学生视角观课，借助荷兰数学教育家范·希勒（V. Hiele）所提出的五层次数学理解模型[1]，分析学生的思维层次. 0级水平——形象级水平：把矩形作为整体来观察，只按它的形状来区分;l级水平——性质级水平：能对矩形的形状进行分析，认识图形的性质;2级水平——关系级水平：开始认识到矩形的几个性质之间或矩形与平行四边形的关系，矩形被对角线分成的等腰三角形及直角三角形的逻辑关系;3级水平——论证级水平：学生开始从整体上理解演绎方法，能由已知命题论证新的命题，自主完成矩形对角线相等的证明，并尝试多种方法;4级水平——体系级水平：达到严格的形式思维水平，能够把矩形的研究套路跟平行四边形的研究形成体系，并可以绘制相应的思维导图.

通过课堂观察学生参与课堂的程度和解题反馈，发现班级学生较多处于2级、3级及两级之间的过渡水平.所以指向高层次的认知与思维，值得我们不断地思考与实践，可以通过问题链设计策略、预留问题空间策略、反思问题结果策略，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流 、反思等思维过程，推动学生的思维向高层次发展.

（三）找准了生长点   但指向深度学习欠缺

嵌入式拓展课程也是本课时的一个自然生长，是对学生思维水平又一次提升.

俞老师的拓展课，就是基于矩形中的特殊三角形及对角线相等性质展开的，找准了生长点及拓展点.虽然没有按计划完成教学目标，但题目的设计给了我们很多反思的空间，用尺规做出折叠后的图形，是一种新颖拓展方向，其实质就是灵活利用三角形全等的判定与性质解决问题.

但从课堂上学生的反应来看，大部分学生并没有用尺规作图，而是用直尺和量角器来完成，其中用尺规作图的部分学生，又借助于直尺来画直角.虽然折叠出的图形画出来了，但作图的过程缺少深度思考.

学过几何的人都知道，尺规作图是几何原本的精华，是训练逻辑思维的最好工具.学生借助于直尺和量角器来画图，就失去了一次逻辑训练，错失了一次深度学习的机会.因此，本节拓展课程中，教师要不断强化尺规作图.

三、案例再创造

通过观摩课，我们对矩形这节课有了深刻的理解，也在自己所带班级进行了改进与尝试.

（一）思想与方法融合   激活学生思维

在证明矩形的四个角都是直角、对角线相等的过程中，我们充分调动了小组互助学习优势，先由学生自主探索，然后进行两分钟小组内谈论，整理，最后小组代表到讲台展示.让学生到讲台上呈现自己的思维过程，一方面加深了题目条件的认知，也让思维过程展示给其他学生，规范了几何语言描述的同时，给学生提供了解题的范例展示.

在证明矩形对角线相等时，先请想出方法最多的小组展示，大多数小组想出以下两到三种方法.

已知：如图7，四边形ABCD为矩形，求证：AC=BD.

方法一：∵在矩形ABCD中，AB=CD，

又∠ABC=∠DCB=90°，BC=CB，

∴△ABC≌△DCB.

∴AC=BD.

方法二：∵∠ABC=∠ADC=90°，AB=CD，BC=AD，

由勾股定理可知：AB2+BC2=AC2，CD2+AD2=BD2，

∴AC=BD.

方法三：∵∠ABC=∠ADC=90°，OA=OC，OB=OD，

∴OB=[12]AC=OA=OC（直角三角形斜邊处中线等于斜边的一半）.

∴2OB=2OA.

∴OB+OD=OA+OC.

∴AC=BD.

有两个小组想出四种方法，极大地激发了学生的求知欲，没想出方法的学生迫切地想要知道答案或者想去推翻想法多的小组，班级内形成一个小的高潮.

评价与升华：教师在点评时要关注 “通性通法”与特殊方法的比较.同时给学生指出直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，我们在学习直角三角形的时候用其他的方法证明过，其实我们也可以通过证明矩形的对角线相等得出斜中线的性质.

（二）例题与习题整合   发展高阶思维

教师在备教材时，应该充分挖掘教材例题和课后习题的价值，对教学资源进行有限的整合，合理安排讲练时间，有目的、有计划、有步骤地进行练习和训练.其实课后习题在安排上给我们留下了其他证明矩形对角线相等的线索.

作业题3 已知：如图8，过矩形[ABCD]的顶点作[CE//BD]，交[AB]的延长线于点[E]，求证：[∠CAE=∠CEA].

在练习完作业题3之后，可以设置如下贴近学生最近发展区的问题：经过授课后习题中的图形启发，你是否可以利用这个图形，给出“矩形对角线相等”的性质其他的证明方法呢？

这样通过证法的多样性，达到思维的多样性.通过几何直观和逆向思维，让学生的思维层次不断地从形象、性质、关系水平向论证、体系水平升级，由简单的模仿和理解，走向更高的应用、评价和创造.

（三）作图与说理并进   促进深度学习

折叠问题是很好的拓展课程的素材，矩形纸片也随处可见，便于学生开展探究，矩形的折叠在发挥学生直观想象、几何直观以及动手操作上有着举足轻重的作用.

在拓展课程展开时，学生产生了浓厚的兴趣，跃跃欲试.安排的任务是在十分钟内完成折叠的作图及三个探究.在巡视的时候发现不同作图方式，在十分钟结束的时候，很多学生愿意展示他们的作法（如图9），我们对他们的要求是在同学讲解的过程中，大家思考他作图的依据是什么.

还有学生利用：对称轴垂直平分连接对称点的线段的性质作图，不过这位学生没有用尺规做出垂直，于是师生共同回顾了过一点如何作已知直线的垂线，使图形变得更加完美（如图10）.

反思与回顾：大家都理解了折叠前后两个图形的全等关系，就把问题转化成作一个与原三角形全等的三角形，三角形的要素是边和角，所以需要提取我们作角等于已知角，作线段等于已知线段的经验，再结合三角形全等的判定进行构图.在作图之前，不妨先画出草图，用直观的草图帮助自己的构图操作.通过方法的比较，我们也不难发现，对于这个题目而言，SSS构图是最简单的操作.

师：还有其他的方法要跟大家分享吗？

有学生按照证全等的方法随口一讲HL，引发班级里学生深深的好奇，HL真的可以吗？

这个问题问得挺意外的，提前没有预设到，于是跟学生一起分析.

师：如果想要用HL作图，我们需要作一个直角，斜边是已知的，怎样画直角，我们有这样的经验吗？

生：过直线外一点作已知直线的垂线，点是有了，但是线的位置好像确定不下来.

师：看来对大家来讲是有点难度的，那么老师给大家一些提示，利用我们学过直角三角形斜边中线等于斜边一半的逆命题，一边中线等于这边一半的三角形是直角三角形，我们只需要尺规作图作出[BD]的中点[O]，以点[O]为圆心，[OD]为半径画弧，则弧上任意一点与点[B]，点[D]构成的三角形一定是直角三角形，那么这个直角作出来后，剩下来的大家知道怎么作了吗？

生：以点[B]为圆心，[BC]长度为半径画弧，与前面一条弧的交点即为[C'].

生：也可以以点[D]为圆心，[DC]为半径画弧作出交点.

师生共同完成HL的作图（图11）.

在解决完变式的相关练习后，不妨来个实践操作，你能用矩形纸片折出变式中出现的这几种图形吗？你能分析它们是按照怎样的标准折叠的吗？你还能提出怎样的数学问题？你可以画出一种折叠并设计相关的数学问题吗？设计贴近学生最近发展区的问题，在知识的生长点上合理设问，是学生思维层次提升的有效途径.

四、案例启示

嵌入式拓展课程是对课堂教学模式的创新，它很好地解决了基础与提高、知识与能力、能力与素养的问题.教师通过对知识进行深入的研究，阐明了知识的内涵，划清学生的思维水平，确定知识前后之间的联系，以及本知识与其他学科的联系，析出知识承载的学科观点、数学核心素养（如图12）.然后在此框架下，合理地分配基础课程与拓展课程的时间占比，恰当预设出拓展的点位，精准设计出拓展的深度和广度，促进学生深度学习.

在数学教学中，知识是中学数学教学的载体.因此，不管是基础课程，还是拓展课程，教师牢牢地抓住知识这根主线，师生要围绕着这根主线开展活动，基础课程重在知识的再发生，再发现，落实数学的基础知识和基本方法，而拓展课程则要借助于数学知识发生、发现过程，有目的、有步骤地将知识中蕴含的思维方法、研究方法及数学的思想观点揭示出来，让学生去掌握、理解并加以应用和评价，从而创造出新的思想和方法（如图13）.

总之，嵌入式拓展课程就是在整体上认识知识，从知识的本质出发理解知识，从知识的逻辑关系中启迪学生思维，發展学生的数学核心素养，达到“道”与“术”的统一.

参考文献：

[1] 张立红.初中四边形教学研究[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2012：10-12.