数轴

2019-09-09 06:34:07 教学月刊·小学数学 2019年8期

姚建法

【摘   要】数轴是帮助学生直观地认识与表达数的几何模型,在整个小学数学学习历程中与学生密切相关。借助数轴,可以从“数认知”“数关系”“数运算”“量的度量”四个视角,分别引领学生自然经历数与数系的扩张、充分编织数与数的结构关联、直观呈现四则运算的本质、形象归纳度量的过程与方法,呈现出数学化的思维过程,体现数形结合,促进数学理解。

【关键词】数轴;数形结合;數认知;数运算

根据数(自然数、分数、小数等等)从小到大的关系,在数轴上能够从左往右表示成线性的次序。一般地,数轴包括负数,如果不涉及负数,则称为“半直线”或“数射线”,它可以为小学生学习数提供直观的几何模型[1],形象地构造知识体系,提升方法内涵。

一、数轴与“数认知”:自然“经历”数与数系的扩张

自然数本身就是对自然世界中物体个数的抽象与符号表达。分数、小数、负数等等,都是数系为了适应不同阶段的需要而不断扩张的“产物”,逐渐构造了越来越精致而庞大的数系网络。基于小学生的学习水平与思维含量,如何让他们感受到这种“张力”呢?

【教学片段1】

(屏幕出示一把米尺,测量课桌的长、宽、高并用小数表示出长度)

师:如果所测量的长度超过1米呢?

(屏幕显示米尺测量中的物体)

生:1.2米,在1米的基础上再加2分米。

师:感觉好像是多出2分米,但数学还是要讲求精确测量。

生:1米处画条线,再把尺子往右移。

师:还可以——

生:再加一把尺子。

师:这就变成一把2米尺。如果测量的长度超过2米呢?超过3米呢?……

生:那就再加尺,再加尺……

师:数学上有办法。

(屏幕显示并介绍数轴,师生适时交流数轴上的数可以是几,还可以是几)

师生小结:真是一条神奇的线。

数射线的教学,不是回归到具象的实体,而是要培养想象的空间以及数学的表示方法(用有限的表示想象无限)。[2]“加尺、加尺、再加尺”从有形到无形的教学推进,让学生自然地经历了数轴从具体到抽象的“生长”过程,简洁明了地把小数与自然数进行了“联结”,感受了小数与数轴上的点的一一对应关系,体验了小数的数序与数值大小,特别是小数的向右无限扩张的推想,增强了学生的数学学习兴趣。用数学自身的魅力吸引学生对数学的聚焦,数轴“真是一条神奇的线”!

【教学片段2】

学生根据单位正方形找到多个小数之后,在屏幕上把正方形变矮(长方形)。

师:你还能找到小数吗?

生:能。

师(继续把正方形变矮):现在你还能找到小数吗?

生(齐):能。

师(继续把正方形变矮):现在呢?

生(齐):能!

师(继续把正方形变矮,像一个直条):现在像你们用的——

生:直尺。

师:如果看成米尺,还能找到小数吗?

生:能。

师(继续把直条“变矮”为单位线段,抽象出单位“1”,继而将单位“1”延展形成数轴):现在,你还能找到哪些数呢?又有什么发现?

“静态地看,概念是知识的基本单位;动态地看,概念是思维的基本单位。”[3]通过让表示“1”的正方形逐渐地变矮、变矮、再变矮,成为直条、单位线段,延展形成数轴(确切地说是数射线),如此的层次递进,学生拥有了丰富的过程体验,十分轻松自然地完成了数学模型的建构。“现在,你还能找到哪些数呢?又有什么发现”的设问,更是引领学生不断地感受着小数群,完成对学习过的所有数的整体认知架构。

从某种意义上来说,“数轴可以看作是数数的直观”[4],也是单位小数累加的原型。以上两个教学片段中的教师都选择了数轴作为“数的概念认识”的拓展延伸,应用数形结合使学生清晰地“看”到了小数是填在自然数之间的“新的数”,感受到小数和自然数一样也是可以数出来的,也遵循从左往右越来越大的数序规则。特别地,小数并不是“很小”的数,将小数及时纳入“旧”的数与数系,扩张了数域“版图”,完成“新数”与“旧数”的高效融合与整体认知。相应地,今后分数的教学与小数异曲同工。

二、数轴与“数关系”:充分“编织”数与数的结构关联

数学是研究关系的一门科学。数与数之间总是通过某种关联进行联结,形成相应的结构。比如因数与倍数便是讨论与研究两个非0自然数之间的共生关系,里面隐藏着多种数学规律与内涵。借助数轴,能够有效地感知这两者间的联系与区别,呈现出数学化的思维过程。

【教学片段3】

师:如果把一个数的因数表示在数轴上,又会出现怎样的神奇现象呢?

(屏幕显示12、16、36三个数的因数在数轴上的图像。)

学生观察并思考:一个数的因数集中分布在哪些地方?

交流后教师追问:为什么一个数的因数会集中在前一半数轴上呢?

通过把一个数的所有因数表示在数轴上,学生便能印象深刻地感知到一个数的因数自左往右反映出的从“稠密”走向“离散”的分布状态,映衬出书写因数时从1开始有序记录方式的优越性与合理性。“为什么一个数的因数会集中在前一半数轴上呢”的深度追问,引向了一个数的因数“成对”出现的结构思维,提升了学生对于一个数的因数内部之间纵深关联的理性认识。

而要更好地挖掘一个数的因数和倍数之间的横向关联,笔者建议不妨设计这样一个活动:观察数轴想一想,6的倍数和因数分别可能在哪?

学生通过观察判断、找点表达、交流分享,首先排除了0,再次突出强调研讨因数和倍数的数系范围是非0自然数,也能很容易地得出6的因数最大是6,其他因数都在6的左边,最小是1,个数有限;6的倍数最小是6,其他在6的右边,等距离散,个数无限,体现出规律性;等等。通过数轴建立的直观“表征”,学生能够形象地感知因数与倍数的内在特征与结构关联。

三、数轴与“数的运算”:直观呈现四则运算的本质

从一年级起,两个数之间最基本、最常用的关系就是加减乘除四则运算。加法,简明地体现为在数轴上两个数叠加合并的核心本质;减法,则是在数轴上准确地找到某两个数所对应的点,度量出这两个点之间的距离即差;乘法,是在数轴上连续向右若干次等间距的“跳跃”;除法,则是从被除数处向左“跳回”若干个等间距,本质上属于等距“连减”,体现除法是乘法的逆运算,比如下图所表示的除法算式36÷5=7……1。

哪怕到了更高的年级,学习了分数与小数的运算之后,亦可以进行相应表达。比如0.3+0.9,先在数轴上数到0.3,再从0.3那个点开始,重新数到0.9,最后停留的点就是这两个数的和1.2。再如六年级的运算问题[12]+[14]+[18]+[116]+…大多是利用单位正方形展开数形结合与倒推转化,应用数轴是不是也能很便利而清晰地加以表现呢?

四、数轴与“量的度量”:形象归纳度量的过程与方法

为了准确度量一个物体有多长,二年级上册学习用刻度尺作工具、用厘米作单位,常常从0刻度量起,量到几就是几厘米,或者从a厘米量起量到b厘米处,则得出物体长度是(b-a)厘米。直到量更长的物体时用到了米尺、卷尺等测量工具。但说到底,一方面这些测量的“尺”其实就是一个半抽象化的数轴(确切地说是数轴的一部分,是数射线),另一方面都是用“终点-起点”的方法得出度量长度,只是0作为起点时,减0仍得原数,常省略而已。

在三年级学习《年、月、日》的过程中,学生常常要解決求经过时长的问题,也可以通过“时间尺”(即数轴)来阐释,表达时间与时间之间的“序”与结构。时间无始无终,和数轴无限延伸一致,求经过时长,便形象地和度量物体长度相一致,也是用“终点-起点”的方法。

再放宽视角,在解决从一楼爬到几楼的问题时,学生易犯的错误是没有将“一楼”有效排除。如果结合数轴分析,不管是量长度、求时长,还是爬楼问题,都可以辩证统一地把开始的地方称为“起点”,结束的地方称为“终点”,用“终点-起点”得出度量值。这么一来,又想到“平移”多少格的问题,不也可以用“终点-起点”的方法来解决吗?那个“格子”可以想象成“外形”更加简陋的数轴。可见,数轴在不同的领域有着不同的应用方式,蕴藏着丰富的教学价值。

如果再延展一下进行审视,借助两条数轴组成的二维直角坐标系,不但能够准确地“定位”物体的位置、表达出两个数的乘积(即长方形的面积),也可以清楚地表达出正比例与反比例的函数关系等等。如果再延伸一下呢?三条数轴组成三维坐标系,那么能做的事就更丰富啦!

“数学概念并非孤立存在的,总是处于相应的概念系统中。数学概念既可能以纵向的逻辑关系形成‘概念树,又可能以横向的并列关系形成块状结构的‘概念群。”[5]而数轴,正恰恰是具备这种能量的“一条神奇的线”,等待我们去创造、去“绘制”!

参考文献:

[1][2]张奠宙,孙凡哲,等.小学数学研究[M].北京:高等教育出版社,2014:280-281.

[3]刘志强.纵向数学化:数学学习的必由之路[J].教育研究与评论,2014(10):21.

[4]江黎明.突出本质   情境支撑   数形结合[J].小学数学教师,2015(5):62.

[5]凌丽.概念教学的过程性缺失与重构[J].小学数学教育(下半月),2015(7-8):72.

(江苏省常州市新北区新华实验小学   213127)