“搭配问题”模型的“精加工”

俞静

【摘   要】“搭配问题”属排列组合知识。在实际教学中发现，学生对于排列组合问题认知模糊，或思考无序，或类型混淆等。为改变这种状况，在教学中可以从数学建模的角度来探讨，以帮助学生更好地抽象、建构搭配问题中三类题型的模型，深化学生的认知结构，发展学生的数学素养。

【关键词】搭配问题;模型建构;小学数学

人教版教材在二年级上册数学广角编排了“搭配一”，在三年级下册数学广角编排了“搭配二”。三年级下册主要呈现了三种问题类型：排列问题（如用0、1、3、5能组成多少个没有重复数字的两位数）、搭配问题（如三件衣服和两条裤子的搭配种类）、两两组合（如求四个队循环赛比赛场次）。这里的搭配问题，在于培养学生有顺序地、全面地思考问题的意识，发展学生的逻辑思维能力，对学生后续学习影响较大。

鉴于自己的教学体会以及在与同行的探讨中发现，学生解答此类习题时错误率较高，往往把不同类型的问题相互混淆，生搬硬套。

【问题与分析】

笔者设计了三类习题组对三（1）班39位学生的学习情况进行了调查，试图寻求教学突破。

从测试情况来看，A组习题正确率较高，个别学生出现小错误，或因题目要求看错，如A组中第二题错看成两位数排列。或因数错算错，如A组的第一题和第三题，但解题思路基本正确。而B组的题目与A组的题目类型一致，只是稍加变式，学生错误率便明显提高。

通过对学生的访谈发现，B组题的错因可以归为以下几点。

1.对各类问题模型本质认识模糊、片面、不深刻。如第一题中的B组从本质上说与衣服和裤子的搭配问题结构相同，都可以抽象成一類与另一类的搭配。只是衣服与裤子的搭配可近似看成 “点状物搭配”，而有几种走法的问题类似“线状物搭配”，当出现这种稍有变化的问题情境时，部分学生无法做出准确判断和辨识，导致在解题中思路受阻，出现了3×2=6（条）的现象。

2.题目中的信息条件有时比较隐晦，部分学生缺乏理解和转换能力，便任意套用模式进行解答，相互混淆。如第二题中的B组，好多学生把“王老师要把三本不同的课外书分别送给小青、小林和小芳”理解为“一个学生搭配一本书”是一种情况，而不是三个学生都送才能算一种情况。第三题中的B组同理，部分学生对于“每次取两个，取出的钱共有哪几种情况”的解读出现偏差，错以为是排列问题。这些都恰恰反映出学生对稍稍隐晦的信息辨别、转换能力较弱。

3.思考缺乏有序性，导致重复、遗漏或表达不清。如第二题中的B组错例3和第三题中的B组错例2，学生虽然能辨识确定问题类型，但要把思考过程和结果有序、完整地表示出来还存在一定的困难。而第二题B组中的错例2，虽然排列出了6种情况，却没有把书本与人对应，不知道谁得到的是哪一本，表达不清。

显然，在课堂上教师不仅需要在问题模型的意义建构上下功夫，还应指导学生有效解读习题中的信息和问题，实现问题与内存模型的顺利衔接，并适当地扩展延伸。通过多角度的打磨，实现模型的“精加工”，深化学生的结构认知。

笔者尝试通过以下几个方面加以落实改进。

【策略与实践】

一、抽象加工，认清模型本质

数学模型是舍去对象的一些非本质的属性，借助数学符号形成的一种数学关系结构，在引导学生探究问题时教师要适当放大这一过程，以学生的学习经验为基点，逐步抽象、概括出数学模型，认清模型本质。如在教学“衣服与裤子的搭配问题”时，教师可以在探究思考环节让学生用不同的符号或图形来表征数学问题，诸如“”。结合图示，先确定一件衣服依次和裤子搭配或先确定一条裤子依次和衣服搭配，都能得到几个几相加的结构，进而抽象得出“衣服数×裤子数=搭配总数”的结构模型。此后，教师可进一步追问：除了衣服和裤子可以搭配，这里的○和△还能表示什么东西的搭配？让学生一一举例，比如“路线搭配问题”等，丰富模型的内涵。当学生储存起足够多的假设代入，就能在一定程度上避免如前面所说的单向模仿，稍有变通就找不着北的现象。同样，在排列问题和两两组合问题的教学上也可以遵循如上的抽象建构路径。

二、比较加工，类化模型结构

在注重每种问题模型本身建构的同时，也需要对不同的问题模型进行沟通、比较。教师可以借助生活中相关的三个实际问题作为载体，借助图示引导学生逐步归类比较。如可创设一组问题情境：

从两名男演员和两名女演员中选一名男演员和一名女演员进行双人舞表演，一共有几种不同选法？

从两名男演员和两名女演员中选两人表演一个节目，一共要表演几个节目？

从两名男演员和两名女演员中选两人站成一排照相，一共有多少种不同的照法？

通过解答，有意识地引导学生用画图表征的方法得到如下三种情况（图中的○和△分别表示男演员和女演员）。

通过直观的符号图示引导学生观察对比，就能一目了然地得出三类问题之间的区别和关联。比如：排列问题与顺序有关，顺序不同，结果也不同，而组合问题、搭配问题与顺序无关。排列问题，可以分步思考，第一个位置有几种情况，第二个位置有几种情况，一一罗列。也可先找出组合数，再求得排列数。当然，这里不必要求学生抽象地计算出有多少组合数和排列数，若学生能自我感悟并提出计算方法，则进行鼓励。这三类问题解答的共同点都需要有序、全面地思考。通过如此比较“加工”，学生自然而然地实现了对三种问题的结构区分。如果学生能清晰地表征并有序思考和罗列，那么我们的教学目标也随之达成了。

三、解码加工，有效对接模型

数学问题的解决离不开对数学信息的正确解读，倘若读取信息偏差、解码错误，那么就不能有效地实现现实情境与脑中问题模型的对接。所以，指导学生正确解读信息这一步至关重要，特别是关于问题情境中一些相对比较隐晦的信息，比如“王老师要把三本不同的课外书分别送给小青、小林和小芳，共有多少种送法”的问题，教师要引导学生抓住关键信息“分别送给小青、小林和小芳”来分析：怎样算一种送法？是一人送出一本算一种情况，还是三个人分别送出算一种情况？如果交换书本的顺序，送书的情况一样吗？那么经过仔细思考和分析，学生应该能够理解三人都送出才算一种送法，也能确定三本书的排列问题了。这与“1、2、3三个数字能组成几个三位数”的结构模型一样，这样一来，便实现了转换“对接”。具体解答中还需要指导学生把每一种送法与相应的人对应起来。如以下形式排列（①②③分别代表三本不同的书）：

小青     小林      小芳

①         ②         ③

①         ③         ②

②         ①         ③

②         ③         ①

③         ①         ②

③         ②         ①

另外还要关注相似问题的信息解读，比如：“四个好朋友，每两人互相握一次手，一共要握几次”“四个好朋友，互寄贺卡，一共要寄几张贺卡”。从字面上看，互相握手和互寄贺卡差不多，但实际上意义完全不同。互相握手与顺序无关，而互寄贺卡与顺序有关，两个人之间要寄两张贺卡，需要引导学生甄别。

四、变式加工，灵活运用模型

在实际应用中，教师可以有意识地对三类数学问题进行拓展延伸，达到融会贯通、灵活运用的预期目标。比如，对于衣服和裤子搭配这种两类事物的組合问题，可以适当增加信息拓展到三类事物的搭配：有三件衣服，三条裤子，两顶帽子，如果一件衣服搭配一条裤子和一顶帽子，那么一共有几种搭配？让学生根据之前的活动经验进行探究，找到解题方法，即“衣服数×裤子数×帽子数”，体会“把每一类事物数量相乘等于搭配总数”的结构模型。

在排列问题中同样能设计一些变式练习，如：参加独唱的四位选手小明、小华、小东、小丽抽签决定比赛顺序，小明抽到的不是3号，你能写出一共有多少种顺序吗？解题中不仅有排列，还要根据信息排除不符合要求的情况，要求学生能灵活应用数学问题模型。

经过问题分析及教学策略改进后，笔者进行了再次调查，设计了一组类似于B组的综合变式题。学生的平均解题正确率达到了87.1%，正确率明显提高。

综上所言，任何数学模型的抽象和意义建构都不是一蹴而就的，需要经历“精加工”的过程。教师需要做的是，善于发现学生思维的阻点和断层，找出内因，帮助学生解疑释惑，扫除障碍，做一个合格的“加工者”，让学生养成应用模型进行数学思维的习惯，提高数学素养。

参考文献：

[1]蔡金法，聂必凯，许世红.做探究型教师[M].北京：北京师范大学出版社，2015.

[2]钟建林.教学110——小学数学主流话题、疑难问题透析[M].北京：教育科学出版社，2011.

[3]邵光华.作为教育任务的数学思想和方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

（浙江省宁波市奉化区锦屏中心小学   315500）