是什么?教什么?怎么教?

2019-09-09 06:34:07 教学月刊·小学数学 2019年8期

刘正松

【摘   要】随着教育教学理论的不断更新,各种教学实验、模式层出不穷,让人目不暇接,这在有意无意间混淆了一线教师的视听。通过对一道相关习题的教学分析,可以让教师进一步明确理想的教学理应回归简单的道理。面对不同的教学内容,应当深究其本质是什么、应该教什么以及如何实施教学这三个问题,如此,教师才有底气走进课堂。

【关键词】折线统计图;函数图象;铺垫;演示;变式

这是苏教版小学数学教材五年级下册第116页上的一道习题(见图1)。

在学生认识了折线统计图并会用折线统计图直观地表示数据后,类似的习题在各种教辅材料中出镜率很高。从学生居高不下的错误率可以看出这绝对可以算是一道难题,可类似的问题是第二学段学生认识“折线统计图”的实际应用吗?学生认知的难点在哪里?既然教材中出现了,又该如何教学?这些问题一直萦绕在笔者脑海中。

是什么?

虽然一直对这题心存疑虑,但并未追根究底。无意间在中学教材中看到这样一题(见图2)。

这是苏教版中学数学教材八年级上册第139-140页第6章“一次函数”中的一道例题。这样一比较,我们不难看出,其实我们五年级研究的“小明去图书馆的问题”就是八年级函数的有关内容。那么,折线统计图(如图3)和函数图象(如图4)究竟有什么联系与区别呢?

一、折线统计图与函数图象的联系

1.两者图象相似

折线统计图和函数图象都是在平面直角坐标系上描点、连线,画出相应的折线图,两者图象相似,容易产生误导,有人误认为折线统计图与函数图象是一回事。

2.两者都可以表示两个量之间的对应关系

折线统计图表示的数据与相应的时间相对应,统计数据随着统计时间的变化而变化,两者存在一种对应关系。

函数图象是以函数的自变量的值为横坐标,以相应的函数值为纵坐标的点所组成的图形。自变量变化,函数都有唯一确定的值与之对应。如汽车以100km/h的速度匀速行驶,汽车行驶的时间为t(h),汽车行驶的路程为y(km)。那么y与t的函数关系式是y=100t,它的图象如图4所示。路程一直随着时间的变化而变化。

二、折线统计图与函数图象的区别

1.两者知识领域不同

折线统计图是第二学段“统计与概率”领域的知识,它把统计数据随时间变化的情况描点连线,进而便于判断数据的变化趋势。

函数图象是第三学段“数与代数”领域的知识,它是平面直角坐标系上的图形,用来直观地研究函数的性质及解决问题。

2.两者图象上点的意义不同

折线统计图上的点是根据调查得到的数据描点连线,这些描出的点是真实存在的点,表示统计对象的一对对变量的真实取值,而这些点之间的连线上的任意一点不一定表示统计对象的真实数据,只表示一种模拟的、可能的数据,因为这两个时刻之间的一段时间没有任何调查的真实数据。虽然数据作为一种变量,可能是连续的,如身高作为一种变量是连续的,但统计的身高数据往往是离散的,一般情况下对一个人不需要连续不断地测身高,隔一段时间测一次便可。因而折线统计图一般表示的是离散的数据,虽然表面上看是连续的,但实际上只表示一种趋势。

函数图象是函数的一种表达方式,函数图象上的每个点都有确定的意义,它表示自变量和因变量的一对对取值,也就是说在函数图象上任意取一点,就相应地有一对函数的自变量和因变量的取值与之对应;有一对函数的自变量和因变量的取值,图象上就相应地有一个点与之对应。

教什么?

通过比对第二学段的折线统计图与第三学段的函数图象,我们不难发现,两者压根不是一回事。那么,学生学完折线统计图的知识,直接上手解决“小明去图书馆的问题”必然有不可逾越的鸿沟。当然,这并不表示在第二学段就不能拓展相应的探究,关键是要找准学生解决这类问题的难点,这就是教学要重点突破的地方,用这样的思维去思考,问题反而变得清晰了。既然题目中呈现的“折线统计图”和学生经验世界中的折线统计图根本不是一回事,学生用已有的经验无法顺利读图,那么,引领学生正确读图自然成为教学的重点。笔者对几位五年级学生进行了访谈,对于“小明去图书馆的问题”,他们的认知障碍主要集中在两处:一是图中平的那一段折线的实际意义,学生看到折线往前延长,潜意识中会感觉路程在增加,而实际这里路程根本没有增加,这是有冲突的;二是折线下行的那一段直至回到横轴,表示回到起點,学生看到的终点和起点明明不在一个点上,却说回到起点,学生一时无法理解。学生若能读懂这里折线图的实际意义,解决下面几个问题自然就不是难事。因此,教师教学这一问题时不应抱着练习题的心态去教学,以解决习题中的几个问题为目标,而应当将此作为一个新授内容去教学,浙教版小学数学教材中就单独编排了这一内容——运行图。笔者以为,“运行图”这一名称直接表达出其与一般的折线统计图的区别,显然是更为智慧的选择。

相对于“引领学生正确读图”这一教学明线,教学前我们还应深入思考这一内容的教学暗线——发展学生的数学核心素养。

一、让学生经历抽象的过程

数学抽象是舍去数学对象非本质属性的思维过程。主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并且用数学符号或数学术语予以表征。“小明去图书馆的问题”中,学生读取文字信息是非常容易的,我们在此基础上逐步出示图象,形成完整的运行图,表征小明的运动过程。将文字转换成图象,更加简洁直观,这也是一个从具体到抽象的过程,逐步培养学生用数学的眼光观察世界的能力。

二、让学生经历推理的过程

推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。从某种程度上说,数学问题解决的过程就是推理的过程。“小明去图书馆的问题”同样如此,学生解决这一问题必然结合图文,根据已知信息或分析,或综合,一步步推理,直至解决整个问题。学生在这样的过程中会慢慢学会用数学的思维思考世界。

三、让学生经历建模的过程

数学建模是指对现实问题进行数学抽象,构建数学模型,用数学语言表达问题,用数学知识与方法解决问题的思维过程。“小明去图书馆的问题”教学实施时,可以先让学生用文字语言描述行走过程,然后抽象成数学表达——运行图,最后借助数学符号解决问题。这正是建模的过程,长此以往,学生自然会形成用数学的语言表达世界的能力。

怎么教?

对于一线教师而言,最关心的还是怎么教的问题。笔者认为教学中应关注以下三点。

一、适度的铺垫

虽然折线统计图与运行图形似而神散,但毕竟有相似之处,因此,对折线统计图的深刻认识是学习运行图的重要基础。

针对学生理解运行图的障碍,教师可以出示一日温度变化的折线统计图,从中追问几个问题:从8时到12时温度上升,折线是怎样的?从12时到14时温度不变,折线是怎样的?14时以后温度下降了折线会怎样?

二、动态的演示

教材受特定条件的限制,往往不能呈现动态的图,这并不代表教师只能将教材中的内容进行打包教学,现实中这样做也是行不通的。

因此,当情境变换后,过渡到运行图,不能一下子整体呈现,可以先找具体的有典型意义的点,追问这些点的实际意义,比如:起点、第一次转折点、平移起点、第二次转折点、回归点……通过追问,澄清学生认识中的模糊点,为正确读图做好准备。当学生初步认识了运行图中每一个节点的实际意义后,再用课件连贯地演示一下表示运动物体的点的运动轨迹,这样动态的演示,让学生从头到尾连贯地感知运行图的形成过程,形成对运行图的完整认识,这是一个由具體的文字情境抽象为纯数学的运行图的过程。

三、丰富的变式

众所周知,对于任何一个知识点的学习,如果只基于一种情境,学生的认识不会丰满直至深刻,因此,适度的变式可以丰富学生的体验,深化学生对问题本质的认识。

前面的动态呈现已分解了学生学习的难点,为及时巩固已有成果,可以分步出示五幅运行图,让学生看图说话,用类似讲故事的方式解读运行图,第一幅图是一辆车从甲地匀速到乙地;第二幅图是一辆车从甲地先到乙地然后加速到丙地;第三幅图是一辆车从甲地到乙地,休息一段时间后,再到丙地;第四幅图是一辆车从甲地到乙地,再回到甲地;第五幅图是一辆车从甲地到乙地,休息一段时间后,再回到甲地。通过这一连串的看图说话,学生对运行图的认识更为具体。

综上,小学数学教学理应回归简单,面对不同的教学内容,我们应追问其本质是什么?我们需要教什么?面对不同的学生,我们又该怎样教?而想轻松自如地回答这三个问题,备课时需要真正深入教材,仔细研读,同时我们的目光不能囿于某一套教材,而应关注不同版本的教材,甚至是初中的教材。

(江苏省南京师范大学附属中学新城小学   210019)