数列极限求法综述

熊青雪月　侯国亮　王君婷　刘韦婷

摘要：数列极限是理解极限思想的根本，又是学习函数极限的基础，还是常考题型之一，本文在深入研究数列极限的基础之上，给出了三类数列极限的求法，

关键词：数列极限函数极限夹挤准则 定积分定义单调有界原理

1問题背景

众所周知，极限思想是在寻找某些实际问题的精确解答的过程中产生的。比如，我国古代数学家刘徽借助国内接正多边形来推算圆面积的方法，就是对极限思想的一次完美诠释。

设有一圆，首先作它的一个内接正六边形，记面积为S1;然后在此正六边形的基础上作其内接正十二边形，面积记为S2;接着再作该圆的内接正二十四边形，记面积为S3;照此循环做下去，每作一次正多边形的边数就增加一倍记内接正6×2n-1边形的面积为Sn（n∈Ⅳ+）这样，就得到一系列内接正多边形的面积：S1，S2，S3，…，Sn，…，它们构成无穷数列{Sn}。显然，因为随着，n的增大，也即正多边形的边数增多，这就使得对应的内接正多边形与圆的差别就越小，进而使得Sn越接近圆面积的精确值。但是无论n取得如何大，只要n固定下来，Sn终究还只是一多边形的面积，而不是该多边形外接圆的面积。不过，由上述过程可以获知随着n的无限增大即内接正多边形的边数无限增加，就可使得内接正多边形无限接近于圆，同时无穷数列的通项也就无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值（即是数列{sn}当n趋于无穷大时的极限就能理解为圆的面积在这个问题中我们一方面看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积;另一方面还看到，数列极限能够形象直观地阐释极限思想的本质，这有助于人类深刻理解极限思想并灵活运用其解决实际问题。另外，数列极限还是学习函数极限的基础，而有关数列极限的数学题还是高考、考研等人生最重要的考试的常考题型之一。因此整理总结数理极限的求法意义重大。

因为数列通常是用通项公式或递推公式表示的，所以下面就从这个角度分别给出数列极限的各种求法。

2通项公式已知的数列极限求法

根据通项公式的特点及复杂程度，可分别利用函数极限求法、夹挤准则和定积分定义求之。下面就结合几个具体例子逐一进行示范。

如果数列通项能写成一个相对简单的函数表达式，即形如xn=f（n），那么根据函数极限和数列极限的关系，就有，此时就可以运用函数极限求法进行求解，

例1求极限。解：

设

则有

若数列的通项公式由n项和构成，且各项是按递增或递减排列的，则可以考虑用夹挤准则求之。 例2求极限 解：记， 则有

，所以由夹挤准则得

如果数列的通项公式由项和或项积构成，且不能用夹挤准则求之，则可考虑利用定积分定义求之，一 例3求极限 解：因为有 所以

3递推公式已知的数列极限求法

如果数列是用递推公式的有关形式给出，则一定考虑用单调有界原理求其极限。

例4设数列{an}瞒足o1/4（n=1，2，…）。证明极限 存在，并求之。

解证：因为

，所以an+1>an，即数列{an}严格单调递增;又O

存在。设

，在

两边取极限，所以

.又（

，所以

，所以a=1/2，

参考文献

[1]同济大学数学系，高等数学（第七版）上册[M]，北京：高等教育出版社.2014.

[2]刘淑芳，侯国亮，宋亮.高等数学.西安：西安交通大学出版社，2014.