漫话狄利克雷函数

2019-09-10 13:22:37 新高考·高一数学 2019年2期

李红

青年问禅师:“我觉得我在这个世界上是多余的,没有人需要我.”

禅师说:“就像你所学的数学,无论怎样复杂艰深的函数,都有适合的图象对应.你只是还没找到那个图象而已.”

青年沉思一番,提笔写下了狄利克雷函数的描述.

狄利克雷函数可以简单地表示为分段函数的形式:D(x)={1,x为有理数,0,x为无理数.在中学范围内,我们可以理解的基本性质有:(1)定义域为整个实数域R;(2)值域为{0,1};(3)函数为偶函数;(4)无法画出函数图象,但是它的函数图象客观存在;(5)以任意正有理数为其周期,但不存在最小正周期.

一、狄利克雷函数的简介

狄利克雷函数的出现是函数概念发展过程中的标志性事件之一.狄利克雷(1805- 1859),德国数学家,他是解析数论的创始人,很多小学生熟知的抽屉原理就是他在1834年提出的.

函数的图象就是函数的写真,狄利克雷函数图象是客观存在,但却无法画出的.

狄利克雷函数的出现,不仅给了我们一个无法画出函数图象的反例,而且极大地推动了函数概念的发展,使人们对函数的认识超越了1718年瑞士数学家约翰·伯努利提出的函数解析式定义的阶段.在1837年,狄利克雷認识到怎样去建立两个量x与y之间的函数解析式是无关紧要的,关键是建立它们之间的对应,从而创立了现代函数的正式定义:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数.”这个定义抓住了概念的本质属性,变量y称为x的函数,只需有一个法则存在,使得这个函数取值范围中的每一个值x,有一个确定的y值和它对应就行了,不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式.

同样,周期性是函数的另一个重要性质.具有周期性的函数,我们更关心函数的最小正周期.那么,具有周期性的函数是不是都有最小正周期呢?答案是否定的,狄利克雷函数是周期函数,但是没有最小正周期,因为不存在最小正有理数.

二、狄利克雷函数的应用所以,周期T=3,故a20=a2= √3.

点评 该问题以狄利克雷函数为背景,将周期性和数列性质进行有机整合,有韵味有变化,看似结构复杂却并不复杂.

例 2

已知函数 f(x)={ 1,x,为有理数,0,x、为无理数,出下列四个命题:

①函数f(x)是偶函数;

②函数f(x)是周期函数;

③存在xi∈R(i=1,2,3),使得以点(xi,f(xi))(i=l,2,3)为顶点的三角形是等边三角形;

④存在xi∈R(i=1,2,3),使得以点(xi,f(xi))(i=1,2,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.

其中,所有真命题的序号是_____(填上你认为正确的所有命题的序号).

解析 ①若x为有理数,则 -x也为有理数,所以f(x)=f(x)=1;

若x为无理数,则-x也为无理数,所以f(x)=f(-x)=0.

综上有f(x)=f(-x),故函数f(x)为偶函数,①正确.

②若x为有理数,则x+3也为有理数,于是f(x+3)=f(x)=1;若x为无理数,则x+3也为无理数,则f(x+3)=f(x)=0,故3为函数的一个周期,即f(x)是周期函数,故②正确(易知,任何一个芷有理数都是它的周期).

③设三个点(x1,0),(x2,1)(x3,0),且x1=x3= 2x2,x3-x2=√3/3,令x2=0,x1=-√3/3,x3=√3/3,合题意,③正确.

④假设存在等腰直角三角形ABC,则斜边AB只能在x轴上或在直线y=1上,且斜边上的高始终是1.若斜边AB在x轴上,点C在直线y=1上,故斜边AB=2,且点A,B的横坐标是无理数,则斜边AB的中点横坐标也是无理数,C的横坐标是无理数,纵坐标只能为0,不符合题意;若斜边AB在直线y=l上,点C在x轴上,故斜边AB=2,且点A,B的横坐标是有理数,则斜边AB的中点横坐标也是有理数,C的横坐标是有理数,纵坐标只能为1,不符合题意,即不存在符合题意的等腰直角三角形,④错误.

故正确答案为①②③.

点评 要解决好这个问题,我们首先要在阅读上下功夫.其中部分命题的判断中,结合狄利克雷函数性质进行了构造处理,或许数形结合效果会更好,不妨试试看.

文章到此应该结束了,但我仍然有意犹未尽的感觉,忽然想到了狄利克雷的一则轶闻.

狄利克雷一生只痴迷于数学事业,对于个人和家庭都是漫不经心的.当他的第一个孩子出生时,向岳父写的信中只写上了一个式子:2+1=3.

你懂的.

巩固练习

1.(福建卷)设函数D(x)={1,x,为有理数,0,x为无理数,则下列结论错误的是( )

A.D(x)的值域为{O,1}

B.D(x)是偶函数

C.D(x)不是周期函数

D.D(x)不是单调函数

2.f(x)=ax2+bx+c,g(x)=mx2 +nx+p,a,b,c,m,n,p为非零常数,其中b2- 4ac=a2,设d(x)={x,x为有理数 0,x为无理数 关于x的方程f(d(g(x)))=0的解最多有___个.

参考答案

1.C. 2.4.