漫话高斯函数

2019-09-10 13:22:37 新高考·高一数学 2019年2期

仓万林

“数学王子”高斯小时候的故事,连小学生都知道.在许多人眼中,他就是数学的代名词.

高斯(Gauss,1777 1855),德国著名数学家,近代数学奠基者之一.如果推选世界十大数学家,高斯是其中的一位;如果推选世界三大數学家,高斯仍然位列其中.

一、高斯函数简介

我们把不超过实数x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].

取整函数y=[x]早在18世纪就为“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数.和前面遇到的狄利克雷函数一样,高斯函数也是高中阶段我们会遇到的感觉“怪怪”的函数.

它的图象是由一些高低不同的水平线段组成,形状上像个阶梯,通常义称为“阶梯函数”.

二、高斯函数的应用

例1 (2017年北京顺义区二模)某学校为了提高学生综合素质、发展创新能力和实践能力,促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人,当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人,那么,各班可推选候选人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为

A.y=[x/10]

B.y=[x+2/10]

c.y=[x+3/10]

D.y=[x+4/10]

答案 B.

解析 由题意,根据规定每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于7时再增加一名代表,即余数分别为8,9时可以增选一名代表,此时要进一位,所以x最小应该加2,最大要小于3,因此利用取整函数可表示为y=[x+2/10],所以选项B是正确的.

点评 本题在处理时,除了用高斯函数性质来分析外,也可以直接特殊化确定结论.

例2 (2016年高考课标理科卷)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28,记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如:[0. 9]=0,[lg99] =1.

(1)求bl,b11,b101;

(2)求数列{bn}的前1 000项和.

解析 (1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=l,

所以{an}的通项公式为an=n.

b1=[lg1]=0,b11=[lg11] =1,b101=[lg101]=2.

(2)因为bn={ 0,1≤n<10, 1,10≤n<100, 2,1OO≤n<1 OOO, 3,n=1 OOO,

所以数列{bn)的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.

点评 原本简单的基本量运算问题,和高斯函数进行整合后立即变得很新颖.一是通过转化,化“新”为“旧”;二是通过深入分析,多方联想,以“旧”攻“新”.要看清问题的本质,我们可以在阅读上多下功夫.

类比取整函数,我们不难构造出小数函数f(x)=x-[x].图象如图2所示:

例3 已知x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x- [x]在R上为

A.奇函数

B.偶函数

C.增函数

D.周期函数

答案 D.

解析 因为f(x)=x-[x],

则f(x+1)=(x+1)- [x+1]=x+1- ([x]+1)=x-[x]=f(x),所以f(x) =x一[x]在R上是周期为1的函数,故选D.

1855年高斯去世,留下遗言把正十七边形(高斯第一个给出了正十七边形的尺规作图法)刻在墓碑上,母校哥廷根大学实现了他的遗愿,树立了以正十七棱柱为底座的墓碑,由于完整的十七边形,看起来会和圆难以区分,所以用正十七边形的各顶点代替,刻在墓碑上,以此纪念“数学王子”对数学的贡献.