数学相声——三角函数

2019-09-10 13:22:37 新高考·高一数学 2019年2期

秦诗砚

甲:唉,马上江苏高考义要改革了,咱家孩子义要苦学了.

乙:谁说不是啊,我们家孩子感觉最难的就是数学,这几天回家一直给我念叨着“三角韩术”,肯定是韩国那边弄出来为难孩子的……

甲:等等,什么?一听就知道你是文盲了吧,这叫三角函数.我为了给孩子补习,可是做了功课的.

乙:是吗?那我可要考考你,这三角函数是什么地方的?

甲:照你的说法,那就是韩国.

乙:错错错.

甲:说来话长,三角函数最初是古希腊的.古希腊三角术的奠基人是公元前2世纪的喜帕恰斯,他实际上给出了最早的三角函数数值表.然而古希腊的三角学基本是球面三角学,这与古希腊人研究的主体是天文学有关.梅涅劳斯在描述球面的梅涅劳斯定理时就用到了正弦.托勒密就更了不得了,他不仅给出了计算和角公式和半角公式的方法,还给出了所有O到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值……

乙:停停停,还是错的,这三角函数不就是数学书上的吗?你说了这么一大堆,全是照着书读的,我们说点实在的,别这么玄乎,

甲:好好好,你先说说三角函数有哪些.

乙:正弦sin,余弦cos,正切tan,余切cot,正割sec,余割csc.

甲:这后面三个我怎么没听说过?

乙:这就是你研究不深啦,余切,正割,余割,虽然已经从高中课本上消失了,但仍是三角函数的重要组成部分.要不然怎么总说“‘割只是个传说”呢?

甲:不错,他们现在学的三角函数多在平面直角坐标系中半径为1、圆心为原点的单位网内.单位网的定义在实际的计算上其实并没有多大的用处,但是它允许了三角函数对所有的正角和负角都有定义,也不仅仅是对于在0和π/2弧度之间的角.根据勾股定理,对于网上的任意点(x,y),x2+y2=1.

乙:这么说来,所有角都可以这样解决:以原点为角θ的顶点,把角的始边与x轴正半轴重合,则终边与单位圆交点的横坐标是cosθ,纵坐标就是sinθ.

甲:对,等你熟练了,就用不着这么繁琐地画图了,把特殊角的三角函数值记牢了就能一通百通.因为对于大于2兀或小于O的角,可直接继续绕单位网旋转得到.在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为2兀的周期函数:对于任何角θ和任何整数k,都可以用诱导公式解决.

乙:哟,这专用名词还懂得不少,别急,我先来考考你. 30°的正弦是多少?

甲:这还不简单,1/2.

乙:那225°的余弦呢?

甲:这就要诱导公式发挥作用了.cos225°=cos(180°+45°)= -cos45°,答案是-√2/2.

乙:記这么熟,有什么口诀?

甲:嘘,小声点,可不能让别人听了去.奇变偶不变,符号看象限.一全正,二正弦,三正切,四余弦.

乙:别这么小气,这么简单,大家肯定都会.

甲:那我们就说点高深的,“欧几里得定理”.

乙:怎么义去了欧洲?

甲:他可是古希腊著名的数学家,人家名字里有个“欧”就是欧洲的?这么说泰姬陵还是泰国的.

乙:好,算我错了.那这个“欧几里得定理”义是什么?

甲:说得通俗点,就是射影定理.

乙:影子?

甲:对,在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.

乙:这我知道,初中就学过了.

甲:那就给你上堂新课.在△ABC中,设∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则有a=bcosC+ ccosB,b=(cosA +acosC,c=acosB+bcosA.

乙:也不算难啊,

甲:就怕说出来你不会,三角恒等式可难倒了大批学生,像蛇一般扭动的正弦、余弦图象不叫你看花了眼才怪.我觉得,三角函数的奇妙就在于它可以用于各种领域.

乙:真的?

甲:就说那二倍角公式,在牛顿运动定律的应用上,机械能守恒的应用上,非它不可.可惜啊,我高中没好好学.

乙:现在也不晚啊,跟孩子一起学,不是挺好?

甲:是啊.

合:学到老,活到老.