例谈三角函数与三角恒等变换

2019-09-10 13:22:37 新高考·高一数学 2019年2期

仝建

亲爱的同学们,今天我们来复习必修4三角函数和三角恒等变换的内容.这两章的内容主要包含哪些重要的题型呢?其中义运用了哪些重要的概念、公式和思想方法呢?让我们一起来看一看,练一练吧.最好自己动手先做,然后再看解析.

1.三角函数的概念

例1 (1)若θ为第四象限的角,试判断sin(cosθ).cos(sinθ)的符号;

(2)已知角α的终边过点P(-3cosθ,4cosθ),其中θ∈(π/2,兀),求α的正切值.

解 (1)因为θ为第四象限角,所以00,cos(sinθ)>0,所以sin(cosθ)·cos(sinθ)>0.

小贴士 (1)判断三角函数的符号,需根据三角函数的符号规律“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,即角的终边在第一象限时,三个三角函数都是正的,角的终边在第二象限时,只有正弦是正的,角的终边在第三象限時,只有正切是正的,角的终边在第四象限时,只有余弦为正.同时还要注意到正弦函数和余弦函数的最值是±1.(2)已知角终边上点的坐标,求角的三角函数值,首先要想到使用三角函数定义,同时还要注意角的范围,必要时按象限进行讨论.

2.同角三角函数的基本关系与诱导公式

小贴士 结合诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”,准确记住这些诱导公式是正确解答此类问题的前提.在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时,要注意正负号的选取.解此类题的常用技巧有:(1)弦切互化,减少或统一函数名;(2)“1”的代换,如:1=sin2α+cos2α(常用于解有关正、余弦齐次式的化简求值问题),1一tanπ/4 等;(3)若式子中有角kπ/2,k∈Z,则先利用诱导公式化简.

3.三角函数的图象及变换

(1)求此函数解析式;

(2)分析一下该函数的图象是如何通过y= sin x的图象变换得来的.

4.三角函数的性质

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若x∈[0, π/2]时,f(x)的最大值为4,求a的值;

(3)求f(x)取最大值时x的取值集合.

(2)因为0≤x≤π/2,所以π/6≤2x+π/6≤7π/6,所以-1/2≤sin(2x+π/6)≤1,

所以f(x)的最大值为2+a+l=4,所以a=1.

(3)当f(x)取最大值时,2x+π/6=π/6+2k兀,所以x=π/6十k兀,k∈Z.所以当f(x)取最大值时,x的取值集合是{x|x=π/6+k兀,k∈Z}.

小贴士 形如y= Asin(ωx+ω)+k单调区间求解策略:可以把“ωx+Φ”看成一个整体,代人正弦函数的相应区间求解,当ω为负数时,一般先用诱导公式把x的系数化为正数.

5.三角函数式的求值问题

(2)在△ABC中,3sin A+4cos B=6,4sin B+3cos A=1,求C的大小.

(2)两式左右两边分别平方相加,得sin(A+B)=1/2,则sin c=sin[π- (A+B)]=1/2,所以C=π/6或C=5π/6.又3sin A=6-4cos B>2,得sinA>2/3>1/2,所以A>π/6,所以c<5/6π,故C=π/6·

小贴士 (1)给角求值:一般所给的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角之间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题.(2)对于给值求角的问题,对角范围的分析很重要,是防止出现增解的重要手段.(3)给值求值:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)- β,2α=(α+β)+(α+β)等,有时通过把已知角(或所求角)换元,找到已知角与所求角的联系也是很有效的办法.

6.三角恒等变换的综合应用

例6 已知函数f(x)=sin(π/2-sinx)sinx-√3cos2x.

(1)求.f(x)的最小正周期和最大值;

(2)讨论f(x)在[π/6,2π/3]上的单调性. (2)当x∈[π/6,2π/3时,0≤2x-π/3≤兀,从而当0≤2x-π/3≤π/2,即π/6≤x≤5π/12时,f(x)单调递增;当π/2≤2x-π/3≤π,即5π/12≤x≤2π/3时,f(x)单调递减.

所以f(x)在[π/6,5π/12]上单调递增,在[5π/12,2π/3]上单调递减.

小贴士 对三角函数性质的考查主要涉及单调性、奇偶性、周期性等.解答时通常是先将函数简化为形如f(x)=Asin(ωx+Φ)+B的形式,然后根据正弦函数的图象与性质求解.

7.转化与化归思想

例7 已知|x|≤π/4,求函数f(x)=COS2x+ sinx的最小值.

解 y=f(x)=cos2x+sin x=sin2x+ sinx+1.令t=sinx,因为|x|≤π/4,所以-√2/2≤t≤√2/2.

所以当t=√2/2时,即x一-π/4时,f(x)有最小值,且最小值为1-√2/2.

小贴士 在求解形如y=Asin2 x+Bsin x+C的值域或最值时,常令t= sinx转化为一元二次函数再求解,换元时需注意新变元的范围.这体现了三角函数中的转化与化归的思想方法.