余弦的“余怨”

彭向阳

我是余弦，我不满，很是不满.

本来三角函数家族里，我们正弦、余弦和正切是一脉同胞——都源白角α终边上一点的坐标（x，y）的比值sin α=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x（其中r=√x2+y2）——地位相同，各有特色，互补共进，各司其职.然而在一个数学老师手里，我却完全被埋没了，这个数学老师专宠正弦，将我余弦抛诸脑后，还告诫学生，只要掌握了正弦和正弦函数的性质，余弦都可以转化为正弦来处理.他的根据就是那个可恨的诱导公式：sin（x+π/2）=cosx.

用图象变换来解释就是：将它正弦函数的图象向左边平移号个单位，就得到我余弦函数的图象，在这个公式的掩盖下，我余弦没有出头之日，只能躲在正弦的阴影里，你说我能不怨恨吗？既生它正弦，义何必生我余弦？

首先，从性质上讲，让我成为正弦的附庸，置于可有可无的境地：

记住正弦函数的这些性质，求解余弦函数的性质时，只要将对应的区间、直线或者点向左边平移π/2即可.

其次，在化简求函数解析式时，有的老师竟然强调全部化为正弦的形式，将我搁在被人遗忘的角落里.例如：

至此，学生都遵照那个“嫌弃”我余弦的数学老师的教导，化为正弦，得到f（x）=sin（2x+π/3），再来解决下面的问题，我真的生气了，难道化为我余弦来解答就不能解决问题？不信请看：

（1）最小正周期为2π/2=兀.

这是2017年北京高考试题，用我余弦来解，也很简单，很快捷吧！再如：

（1）求f（x）的值.

（2）求f（x）的最小正周期及单调递增区间.

这可是2017年浙江省高考题，用我余弦来解答也一样方便快捷吧！

于是我将自己的怨恨写信给这个老师，没过几天就收到了他的回信：亲爱的余弦（函数）：

我要向你说声对不起，不是我“嫌弃”你，也不是我“抛弃”你.与其让学生死记硬背你，倒不如类比联想记忆你——紧扣你同“正弦”的形同特点——只需平移关系，这样学生对你的印象不是削弱了，反而更加强了，感觉你更生动，更形象，更有活力了.其實数学的学习过程也是一个类比联想的过程，抓住知识点或数学概念之间的关联，就纲举目张，一通百通，举一反三.在三角函数大家庭里，你们三兄弟，是相互联系、血肉相连的，这一点从你们的定义和同角三角函数之间的关系也可以看出来，已知你们中的一个就可以求出另外两个，特别是你与正弦，更是唇齿相依的关系——如果唇亡，则一定齿寒，在许多实际问题的解答中也是需要你们相互配合，紧密相扣的.我举个例子吧.

如图1，某广场中间有一块扇形状绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，半径为1，∠AOB=π/2.广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在AB上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE.问C点应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由.

解 如图1，将扇形放入平面直角坐标系中，设∠AOC=α，（OE=r，则C（ cos α，sin α），E（rcosπ/3，rsinπ/3），即E（1/2r，√3/2r）.

于是有√3/2r=sin α，所以r=2sinα/√3.

于是CD+CE=r+ cos α-1/2r=1/2r+COS α=sinα/√3+cosα=2/√3sin（a+π/3）.

由于0<α<π/3，所以π/3<α+α/3<2π/3，当a+π/3=π/2，即α=π/6时，也就是C为AB的中点时，修建的道路CD与CE的总长最大，为2√3/3.

你看，这个例题中离开了你余弦，能够解答吗？至少解答很不容易吧.所以每个数学概念都是数学大厦的一块基石，在人类构筑现代文明社会时都不可或缺.

我看后，满脸惭愧，再也没有抱怨了，我也是数学大家庭中重要的一员，我要和正弦一起，和数学大家庭中的每一位成员一起，和睦相处，为数学作出自己的贡献.