“算一次”不行,就“算两次”

2019-09-10 13:22:37 新高考·高一数学 2019年2期

周雨霏

首先来看一道题:

试用两种方式表达该正方形的面积,你发现了什么?

解S=(a+b2,S=a2 +2ab+b2

→ 我們可以得到完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2.

早有接触的完全平方公式,想必大家不会陌生,而这种用不同的形式表示同一量,从而建立相等关系的“算两次”的方法在数学中也常常会用到.其实,我们在做计算题的时候,常常会采用不同的算法来检验计算结果是否准确,不也是“算两次”吗?

在算法算理更为复杂的高中数学里,这一种方法也可谓利用得“淋漓尽致”.

根据上面的这个例子,我们还可以发现“算两次”是获得等式的重要方法.如果还是没有感觉,我们就再来看些例题,

先拿刚学习不久的向量运算为例:

例1 设向量a=(cos 75°,sin 75°),b=(cos 15°,sin 15°),试分别计算a·b=|a||b|cosθ及a·b=x1x2+y1y2,比较两次计算结果,你能发现什么?

不妨利用坐标系和单位圆进行研究.

解 依题意,|a|=1,|b|=1,a,b的夹角 θ=60°,

有 a·b = |a| |b| cosθ= cos 60° =cos(75°-15°) ,

又 a·b =x1x2 +y1y2= COS75°cos15°+sin75°sin15°.

结论:明显可以发现cos(75° -15°)=cos75° cos15°+sin75°sin15°.

一般地,可以得到cos(β-α)=COSβCOSα+ sinβsinα,也就是我们在必修4第三章所学习的——两角差的余弦公式.

“算两次”的技巧除了可以得出一些规律性的结论外,还可以灵活运用在计算当中.仍以向量计算为例:

例2 如图3,在△ABC中,点M是AB的中点,且AN=1/2NC·BN与CM相交于点E,设AB=a,AC=b,试用基底a,b表示向量AE.

解析 通过观察可以发现:AE可以在△ANE,△AME中分别表示.

解题先做好准备工作:

在△ABC中,BC=AC-AB=b-a,

MC=MB+BC=1/2AB+BC=1/2a+(b-a)=-1/2a+b,

NB=AB-AN=AB-1/3AC=a-1/3b.

因为可以在△ANE,△AME中分别表示AE,而AN和AM已知,

所以不妨设NE=λNB,ME=μMC,

在△ANE中,AE=AN+NE=1/3b+λ(a-1/3b)=λa+(1/3-1/3λ)b;

在△AME中,AE=AM+ME=1/2a+μ(-1/2a+b)=(1/2-1/2μ)a+μb.

根据平面向量基本定理——如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,可得二元一次方程组

{λ=1/2-1/2μ,1/3-1/3λ=μ,解得{λ=2/5,μ=1/5.所以可得AE=2/5a+1/5b.

问题反思:例2在熟练掌握平面向量基本定理和二元一次方程解法的基础上,采用“算两次”的算法,“锦上添花”达到灵活运算的结果.可见,唯有灵活熟练地掌握更多知识点,才可以“更上一层楼”的加以利用.

感悟提升 初次接触“算两次”思想时,不由得感叹其精妙与神奇,一直在思索是如何强大的逻辑思维才可以一步步地思考到这种方法,后来经过不断地积累和整理,发现可能是“尝试”的结果吧.

解数学题也就好像“人生”,总不可能一帆风顺,遇到瓶颈时,不断地尝试,说不定会有意料之外的惊喜呢!数学作为高考的“大科目”也需要我们每一个人用心体验与感悟,唯有这样,才会“温故而知新”,在学习与生活上更上一层楼!