天涯海角 缩地成寸

2019-09-10 13:22:37 新高考·高一数学 2019年2期

李凌晨

求三角形的面积,初中使用公式S=1/2ah,到了高中,面積公式S=1/2absinC最常用.假如从向量的角度考虑,三角形的面积公式有没有向量形式?用坐标又如何表示呢?

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为以a,b,c,设C(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),则CA=(x1,y1),CB=(x2,y2).

S= 1/2absinC

=1/2|CA| |CB|√1-cos2C

=1/2√(CA||CB|)2-(|CA||CB|cosC)2

=1/2√(|CA||CB|)2-(CA·CB)2.

这样就推出了三角形面积公式的向量形式.

进一步用向量的坐标表示,就能推出三角形面积公式的坐标形式:

S=1/2√(x12+y12)(x22+y22)- (x1x2+y1y2)2

=1/2√(x1y2-x2y1)2

=1/2|x1y2-x2y1|.

我特别喜欢联想集团的一句广告词:“如果没有联想,世界将会怎样?”

观察结构“x1y2-x2y1”,我联想到判定两个向量平行的坐标公式.

设a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a//b,则x1y2=x2y1.

啊哈!

在△ABC中,当C=0时,S=0,x1y2-x2y1=0,即x1y2=x2y1,此时CA//CB.

到此,在S=1/2|x1y2-x2y1|与a//b的天涯海角中,当S=0时,式子“x1y2-x2y1”使两者缩地成寸.也就是说,我们打通了三角形面积公式坐标形式和判定两向量平行坐标式之间的关系,解释了相同结构“x1y2-x2y1”.

老师说,等到了高校会继续学习向量的知识,比如,向量的向量积a×b.与向量的数量积a·b不同的是,向量积a×b仍然是一个向量,模|a×b|=|x1y2-x2y1|.我们知道,若a·b=0,则a上b.所以,若a×b=0,则a//b.

最后又意外收获判定向量平行的另一种方法,这趟探究之旅收获满满!