关于“动点问题”的数学教学案例分析

陈晓波

摘 要：本文重点是探究几何中的动点问题，本人根据多年的教学经验，分三步来引导学生如何分析、解答动点问题，在解决这类问题时，学生要充分发挥空间想象的能力，不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找等量关系式，从而找到解决问题的途径。

关键词：等量关系；变量关系；检验

近年来，运动型问题常常被列为各省市中考的压轴题之一，这类问题通常是在一些几何图形上设计一个或两个动点，并对这些点在运动变化过程中伴随着等量关系、变量关系、图形特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究和探索。问题常常集几何代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性和一定的难度。

例：已知，如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动.设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：

（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；

对于此类“动点问题”，我们需要从下面三方面入手：

一、动中求静，由动点转变成静点来分析。

怎样由动点转变为静点呢？分析如下：点P由点A运动到B的过程中，首先要分析∠BPQ有没有可能出现直角的情况，很明显，∠BPQ是有可能成为直角的，我们就把∠BPQ为直角的图形画下来，这就是由“动”转变成“静”的思路。另外我们在分析此问题时还要更全面、更仔细些，题目中提出的问题是：△PBQ是直角三角形吗？那就是说一个三解形中，除了∠BPQ是直角外，另外两个角，∠BQP和∠PBQ有没有可能为直角，很显然，∠BQP有可能而∠PBQ没有可能，同样把这种可能情况的图形画出来。另外还要注意此类问题可能有两种或多种情况出现，这就要求我们在具体问题中如何更全面地分析问题，防止漏掉一些可能出現的情况。

其实此类问题中的“静”是指问题中不变的量或者不变的关系，动点只有在运动到某种特殊的位置时才有特殊的数量关系，抓住这瞬间的动静转化，把一般问题转化成特殊关系才是解决此类问题的关键所在。

二、根据已知条件，找出等量关系。

把图形的动点转变成静点后，要根据已知条件找出等量关系，先根据题意，设出未知数、列方程。上述例题中的条件是直角三角形，这就要求我们在对所学的知识非常熟悉，是利用三角形特殊角度的关系，还是用勾股定理，还是应用三角函数等知识去解答，就需要我们在具体的问题中去分析，找出最简单的求解方法。

根据第一步的分析，上述例题中有两种情况：（1）当∠BPQ=90°时，因为∠B=60°所以∠BQP=30°，所以BQ=2BP，这就得到了等量关系，然后根据等量关系求出 t=2s.（2） 当∠BQP=90°时，因为∠B=60°所以∠BPQ=30°，所以2BQ=BP，这就得到了第二个等量关系，然后根据等量关系求出 t=1s.

在第二步中，正确、简洁的找出等量关系列方程求解就变得尤其重要，它可以简化计算，把比较复杂的问题变得非常简单，容易理解。如果在这个问题中你选择勾股定理的话，就计算而言，难度增加了许多。因此，如何灵活地运用所学的知识就变得非常关键了。

三、检验答案的可行性。

对于有些动点问题会出现多种情况，而每种情况中可能会有一个或多个答案，并不是解出的所有答案都符合题意，有些答案并不符合题目的要求，因此我们在求出答案的同时还要正确地验根，是否符合题意，再根据实际情况取舍。

在这一步中，主要目的是做到审题严谨，舍去不符合题意的答案。

动点问题主要是考查学生对几何元素的运动变换性质，它主要揭示“运动”与“静止”，“一般”与“特殊”的内在联系，以及在一定条件下可以相互转化的唯物辨证关系。在教学中，此类问题对于初次接触的学生来说，有一定的难度，教师在首次教学中应教会学生如何分析，如何找等量关系是至关重要的，当学生遇到过此类问题后，可以给一定的时间思考，然后分小组交流讨论，派代表展示他们讨论的结果，其它同学给出正确的评价，最后教师点评，相信通过不同类型动点问题的学习，学生的分析此类问题的能力会得到大大的提高。

参考文献：

[1]《初中数学动点问题的解题策略》.王中文.2012.

[2]《浅谈初中数学动点问题》.汪元清.2015.

[3]《对初中数学动点问题的几点思考》.穆莉花.2012.