关于高中阶段函数教学的几点思考

陈芬艳

[摘  要] 函数作为代数学中的重要知识，在数学研究以及生产生活中都有着广泛的应用，在高中教学中，函数也是极其重要的内容，函数的思想方法贯穿了整个高中数学的知识体系，然而函数的教学经常会遇到各种各样的问题，这和学生的学习轨迹以及教师的教学方法都有密切的关系. 文章从函数概念的教学、函数中的数形结合思想以及函数相近概念的区分等几个角度，对高中阶段的函数教学做了几点思考.

[关键词] 初等函数教学;函数的概念;数形结合;方程与函数

函数作为代数学中的重要知识，在数学研究以及生产生活中都有着广泛的应用，在高中教学中，函数也是极其重要的内容，函数的思想方法贯穿了整个高中数学的知识体系，然而函数的教学经常会遇到各种各样的问题，特别是刚开始的入门阶段，集中体现在学生对函数的概念把握不清、缺乏函数思维等方面，为了能够更好地进行函数相关章节的教学，笔者做了以下四点思考.

[?]正本清源，帮助学生正确理解函数的本质内涵

要想让学生真正能够掌握函数相关的知识，最为基础且极其重要的一步便是帮助他们厘清函数的本质，早在17世纪初期，笛卡尔提出变量的概念开始，函数的思想便存在于数学研究之中了，但此时函数一词还未成为数学术语，莱布尼茨第一次将函数一词作为数学术语. 而在1734年，著名数学家欧拉才将f（x）作为表示函数的符号，在函数概念发展的过程中，出现了各种不同的学说，其中包括了变量说、对应说以及集合说等等.

变量说对函数概念的定义是：假设有两个变量x，y，如果x的值在某一范围内变化波动时，另一变量y的值也随之以一定的规律性发生变化，那么我们就将变量x命名为自变量，将变量y定义成因变量，其值就是变量x的函数，即可记作y=f（x）. 初中阶段，为了使得学生接收起来更为轻松，教材中采用了变量说来定义函数，这一学说的优点在于比较简单直白，能够形象地展现出变化，但是却不能真正揭示出函数的本质，也就是变量之间的一一对应关系，学生很容易混淆函数的概念，不能理解f，f（x）以及y之间的异同.

最先提出函数是一种变量之间的对应关系的数学家是迪里赫莱，他在1837年提出了函数概念的对应说，即对于一定区间内的每个确定的变量x，有一个y与其对应，此时我们把变量y称为变量x的一个函数. 十九世纪七十年代集合论的概念出现之后，对应说的思想被进一步明确，并发展为集合说，集合说将集合之间的单值对应关系命名为映射，并将所有非空集合到数集的映射命名为函数，集合说相较于变化说抽象了一些，但是关于函数的定义却明确了许多，它具有以下三个优点：第一，明确的映射关系反映了函数的本质内涵，即变量之间的对应关系，揭示出一种对应的规则;第二，以集合为载体，扩展了函数的概念，使其更具有普适性;第三，建立起了知识模型，为沟通知识与生活场景提供了便利，方便教师开展教学，举例说明，教师可以向学生介绍，某一个班的学生与其身高就可以建立一个函数关系，对于每一位同学都有唯一的身高与之对应. 函数的概念由三个部分——定义域、值域和对应法则共同构成，缺少任何一部分函数的概念都将不完整.

当然，上述定义中仍然存在着较为模糊的地方，比如“对应”这一概念在上述的概念描述中就不够清晰，1914年豪斯道夫利用纯粹的集合论语言对函数进行了定义，如果对于一个集合f={（x，y）

x∈A，y∈B}，满足对于?x∈A，如果（x，y1）∈f且（x，y2）∈f，那么就可以得出y1=y2，则这样一个集合f就可以称为是从集合A到B的一个函数. 这样的定义虽然较为严谨，但是舍弃了解析式等较为直观形象的表现形式，以高中生的知识和认知水平，理解起来有一定困难，不过如果学生学有余力，教师也可以适当地向学生介绍这一定义方式，帮助学生从更加抽象的维度深刻理解函数的概念.

总而言之，初中阶段的教材多采用变化说来定义函数，这种方法虽然简单直观却不能帮助学生真正理解函数的本质，教师进行教学的第一步就是要正本清源，用更加准确的定义帮助学生建立起集合与映射的意识，从而更加全面准确地理解函数的概念.

[?]利用数形结合，让学生更直观地感受函数

数学是一门对客观世界进行抽象的学科，常常从定性和定量的角度来分析和描述，因此大多数情况下数学的公式和概念会显得较为晦涩，但是这并不代表数学只有冰冷的一面，数学图形或者图像能够以直观生动的方式向人们展示数学世界的奇妙，能够很好地中和数学的抽象和晦涩感. 在函数的教学中，图像能发挥很大的作用，我们可以通过函数图像来对函数的整体或局部性质进行考察，也可以借此对函数的概念产生更深一层的理解，教师应在教学中强化学生数形结合的思维，让学生逐渐养成即使眼中无图也能心中有形的能力[1]. 举例说明，单调性是函数的重要属性，在数学研究或者生产生活中应用广泛，单纯从数学公式或者概念定理来研究显然具有很大的难度，这个时候如果利用图像就可以很直观地看出函数的大致趋向，再经过一定的计算就可以较为轻松地得到函数的单调情况，比如，需要求复合函数y=log0.5

x2-x-12

的单调区间，我们就可以先根据

x2-x-12

和log0.5x的单调性作出对应的图像，之后再分类进行归纳即可;再比如，函数图像还可以用来估计方程解的个数，若要判定3x2+6x=有多少个实数解，则只需根据等式两边的函数，作出相应的函数图像，再数交点个数，即可得到实数解的个数.

[?]提早培养学生映射的概念

低年级的教育虽然内容相对简单，但是对于树立学生的意识有着重要的作用，学生在低年级学习的知识概念将会很大程度上影响后续的学习，倘若刚开始树立的概念有问题，后续想要纠正，也很容易吃力不讨好.

关于函数概念的教学也是如此，初中阶段的变化说定义由于没有清晰点出函数的实质，学生很容易产生一些错误的认知，对将来的学习产生不良的影响. 笔者建议提早培养学生映射的概念，虽然对于低年级的学生来说，这样的数学概念较抽象一些，但是只要合理设置教学梯度，从最基本的概念开始让学生慢慢理解，再辅以生动的事例，学生也是可以接受的，而这样做的好处也显而易见：首先，映射的思想在后续的数学学习中有着重要的作用，不只是函数相关知识，很多数学变换也可以用映射来解释，提前培养学生关于映射的認知能让他们感受到数学知识体系的完整性，也为学生更进一步地学习打下了坚实的基础;其次，映射的思想能打开学生的视野，让学生得以将数学知识和现实生活联系起来;最后，虽然映射的概念相对来说较为抽象，但是掌握它能使得学生更容易理解函数，教师可以利用一些例子做引导，让学生发现原来生活中处处有函数，学生会发现函数的趣味性和实用性，从而不再对函数抱有恐惧感，会渐渐消除心理距离，更积极地投身函数学习.

[?]帮助学生理清相近概念

许多较为细心的学生在学习函数的过程中常常会思考这样一个问题：函数和方程有什么样的关系？的确，函数与方程在形式上具有一定的相似性，反映的也都是量与量之间的关系，乍一看两者确实容易混淆，但是两者之间的思想却有着很大的区别，函数反映的是一种变量之间的对应关系，强调凸显两者之间对应的变化情况，方程的思想则有所不同，它强调数值的求取，目的是根据已知量选择适合的未知量值以使得等式成立. 在一定的情况下，函数与方程可以互相转化，方程F（x，y）=0可以转化为y=f（x）的形式，如果用y=f（x）表示函数，经过移项也可以转化为y-f（x）=0的方程形式. 实际上在日常的学习和研究中，我们也常利用一方的知识来解决另一方的问题，比如我们可以利用函数零点的相关知识来解决方程求解的问题. 教师在教学的过程中可以适当补充这样的相似知识点对比，帮助学生厘清这些知识点间的异同之处. 这样做不仅能够减少知识混淆的可能，还能从另一方面巩固和加深学生对知识点的掌握程度，帮助学生打开思路，将不同的知识点融会贯通，建立更加完善的知识和认知结构.

参考文献：

[1]  王光明. 高效数学教学行为的特征[J]. 数学教育学报，2011，20（1）：35-38.