上三角矩阵李代数的强ad-幂零元

2019-09-17 00:58靳梦丹胡志广
关键词:共轭特征值代数

靳梦丹,胡志广

(天津师范大学数学科学学院,天津300387)

1 引言和预备知识

在李代数理论中,著名的共轭定理是:特征为0的代数闭域上的有限维李代数的任意2 个Cartan 子代数关于内自同构群共轭.共轭定理与李代数的强ad-幂零元密切相关,而强ad-幂零元一定是ad-幂零的[1-2].在幂零李代数中无非平凡的强ad-幂零元,在半单李代数中,由强ad-幂零元指数生成的自同构子群是内自同构群[2].上三角矩阵李代数是一类重要的可解李代数,许多学者对其进行了研究[3-8].本文考虑特征为0的域F 上的3 阶上三角可解李代数,给出了其所有的强ad-幂零元,并得到了其强ad-幂零元集在自同构群下的轨道.

设F 是特征为0 的代数闭域,t(n,F)={(aij)∈gl(n,F)|aij=0,i >j}为n 阶上三角可解矩阵李代数,有时简记为t.记Aut(L)为李代数L 的自同构群,Int(L)为L 的内自同构群.设σ 是有限维线性空间V上的线性变换,令

若Vλ≠{0},则称之为σ 关于λ 的根子空间.文中其他记号见文献[1-2].

定义1设L 为域F 上的李代数,x∈L,若存在y∈L 以及ady 的某一非零特征值a,使得x∈La(ady),则称x 为强ad-幂零的.

引理1[2]设φ∈Aut(L),则

定义2设称O(x)={φ(x)|φ∈Aut(L)}为x 在自同构群Aut(L)作用下的轨道.

引理2设L 为F 上的李代数,其导子列为

设φ∈Aut(L),则φ(L(i))=L(i),i≥0.

2 主要结果

定理1设L=t(3,F),则ce23|a、b、c∈F}.

证明设则ady 在基e11+e22+e33,e11,e22,e12,e23,e13下的矩阵为

由此可得ady 的特征值为

下面分情况讨论.

情况1若y11、y22、y33互不相等,则λ1、λ2、λ3均不为零,有如下情形.

(1)若y11+y33≠2y22,则λ1、λ2、λ3互不相等,此时ady 的非零特征值的根空间均为特征子空间.计算得

(2)若y11+y33=2y22,则有λ1=λ2≠0,λ3=2λ1,计算可得

情况2若y11、y22、y33中仅有2 个相等,则有如下情形.

(1)若y11=y22≠y33,即λ1=0,λ2=λ3≠0,则解(ady-λ2id)2x=0 可得Lλ2=Fe23+Fe13.

(2)若y22=y33≠y11,即λ2=y22-y33=0,λ1=λ3≠0,则

(3)若y11=y33≠y22,即λ3=y11-y33=0,λ1=-λ2≠0,此时计算得

情况3若y11=y22=y33,此时无非零特征值.

综上可得到t(3,F)的所有强ad-幂零元.证毕.

推论设L=t(3,F),则E(L)=Int(L).

证明由定理1 及其证明知,若adx 幂零,则x=λI+y,其中I 为3 阶单位阵,y 为强ad-幂零元.所以adx=ady,因此E(L)=Int(L).

定理2设L=t(3,F),φ∈Aut(L),取L 的一组基

则φ 在这组基下的矩阵为

或者

证明设

因为李代数的自同构将中心映为中心,而C(t)=Fε1,故有

由引理2 及L(1)=span{ε4,ε5,ε6}和L(2)=Fε6知

由[φ(e11),φ(e13)]=φ(e13)和[φ(e22),φ(e12)]=φ(-e12)可分别求得b2=1 和c2=0.再由[φ(e12),φ(e23)]=φ(e13)得f6=d4e5-e4d5.注意到f6≠0,则有d4e5≠0 或e4d5≠0.

当d4e5≠0 时,由[φ(e22),φ(e12)]=φ(-e12)得c3=1,d5=0,d6=c5d4,由[φ(e22),φ(e23)]=φ(e23)得e4=0,e6=c4e5;再由[φ(e11),φ(e23)]=0 得b3=0,b4=-c4;最后,由[φ(e11),φ(e22)]=0 可得b5=0,c6=-b4c5.由此可得自同构φ 的第1 种表达形式,容易验证由这种形式定义的φ 是自同构的.

当e4d5≠0 时,利用同样的方法可求得自同构φ的另一种表达形式.证毕.

注 容易求得t(3,F)的内自同构为定理2 的第1 种表达形式下的a1=1,b1=c1=0 的情形.关于n 阶上三角可解李代数t(n,F)的自同构和内自同构可见文献[3].

定理3李代数t(3,F)的强ad-幂零元集在其自同构群作用下的轨道分解为

证明由定理1 知e12、e12+e23和e13都是强ad-幂零元,再由定理2,可求出它们在自同构群下的轨道分别为

易知它们互不相交,且它们与零轨道的并就是所有的强ad-幂零元,因而可得自同构群作用下的轨道分解.证毕.

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