初中生学习函数的困扰和教学探索

王玮玮

摘 要：在初中数学学习的最后阶段，二次函数往往是学生学习的最大困扰，而很多学生升入高中之后，面对迎面而来的f（x）的概念，显得不知所措，不明白函数到底是什么，造成数学成绩的直线下降。目前的数学大纲，初中阶段认识函数，并主要学习了一次函数、二次函数、反比例函数、三角函数等内容。对这些函数学习的好坏，直接关系到中学后继续学习的难易程度问题。

关键词：函数;概念;对应关系

在中学学习中，函数是最重要的概念之一。函数概念深刻地反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量之间的依存关系。它告诉人们一切事物都在不断地变化着，相互联系，相互制约，从而了解事物的变化趋势及其运动规律。函数的概念不仅与中学数学中的重要分支有密切联系，也是近代数学的基础。由于函数思想充分体现了集合、对应、映射等基本数学思想，因而就是中学数学能接近数学科学的近代水平，进而使学生获得基本的、深刻的、有用的高等数学思想方法。

一、初中教材中函数的基本情况

课标解读中指出，初中阶段函数的内容包括：常量和变量，函数的概念和三种表示方法，正比例函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质。

我们看到北师大版的教材是这样编排的：七年级下册介绍了“变量之间的关系”，学生从具体情境出发，感受“变量”和“常量”，“因变量随着自变量的变化而变化”，同时表现这种关系的方式有三种：表格法、表达式法和图象法。在此基础上八年级上册引入了平面直角坐标系，紧接着就是一次函数的教学。在这一章，正式引入了函数的概念。在九年级上册学习了反比例函数，九年级下册就是对三角函数和二次函数的认识。其中对三角函数只是让孩子明确了三角函数的概念，而三角函数的图象和性质则没有做要求。

我们看到，在正式介绍函数概念之前，课本先后做了“变量之间的关系”和“位置与坐标”这两个知识准备。这两个知识就是为函数的学习做准备的，而在讲授一次函数，反比例函数，二次函数时都是按照函数的概念—函数的图象—函数的性质—函数的应用这四个维度来进行的。

二、学生学习函数的基本情况和困难

1.学生学习函数的困惑

函数是什么？为什么叫函数？函数是一种数吗？这是初中生刚开始接触函数时最常见的问题。

函数到底是哪个表达式呢，还是哪个图象呢？还是什么？这是初中生接触函数一段时间过后的问题。

在教学中我们发现，学生在学习函数时，对于函数的三种表达形式都能掌握，但是他们不能建立这三者之间的联系，学习一次函数就认为是个一次方程，学习二次函数就认为是一个二次方程，到最后学完二次函数之后学生仍不清楚什么是函数，对函数的不同表现形式、对不同函数之间的共同点没有建立起联系，知识之间是孤立的，究其根本就是在学习一次函数之初，对函数的概念并没有根本的掌握。

在初中阶段，函数给出的定义是：在某个变化过程中，两个变量x和y，如果给出一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。那么问题就来了，变量学生好理解，那么函数是个什么呢？是y吗？那怎么又会变成哪条线，哪个表达式呢？

2.初中生学习函数困惑的原因

一方面，函数本身概念的抽象性和复杂性是导致学生学习函数困难的最大原因，函数涉及的变量，学生对什么是变量往往认识不清，单纯地以为字母就是变量，在教学实践中，往往对变量的教学不够深刻，而学生在接触变量之前一直接触的都是常量的学习，对变量认识不清，自然对函数的概念理解不了。

另一方面，初中生思维发展的局限性也是造成函数学习困难的因素，函数体现的是一个量随着另一个量变化而变化，这种动态的整体的思想对于中学生理解起来有一定困难，心理学研究表明：初中生的思维发展水平是从具体形象思维逐步过渡到形式逻辑思维水平，高中生在继续完善形式逻辑思维发展的前提下，辩证思维发展开始逐渐占主流。但辩证思维是人类思维发展的最高形式，中学生的辩证思维基本上处于形成与发展的早期阶段。这样一方面是中学生的辩证思维发展很不成熟，思维水平基本上停留在形式逻辑思维的范畴，只能局部地、静止地、割裂地认识事物;另一方面函数的特征是发展的、变化的、与众多数学知识相互联系的，属于辩证概念。这个矛盾构成了函数学习中一切认知障碍的根源。

三、初中函数教学的几点建议

1.函数学习前加强对变量概念、坐标系、坐标变化的教学

在七年级下册，我们就开始接触变量和变量之间的关系。通过具体实例，从表格、表达式、图象三种形式让学生探索实例中的数量关系，了解常量和变量的意义，感受一个量随着另一个量的变化而变化这一关系。在具体教学中，我们要提供丰富的、有代表性的实际情境，让学生在变量的教学中，会区分变量和常量的差别，特别是在具体的情境中，区分变量、常量，谁是自变量，谁是因变量。并且给予孩子充分的时间去思考“因变量随着自变量的变化而变化”这个关系。

在一次函数教学之前，先进行了关于坐标系的学习，而坐标系的学习对于学生来说困难不大，这就使得我们很多教学者认为不难，忽略了对学生基本知识的要求，学生也对这个知识掉以轻心，等到后面学习函数时，才发现之前的知识掌握并不牢固。首先要明确在七年级学习了数轴的基础上，平面直角坐标系产生的逻辑必然。同时建立图形的位置和坐标之间的数形联系，意识到平面直角坐标系把数和形结合到了一起。

2.要理解教材编写的意图

在北师大版教材中，函数这一节课本给了三个情境：（1）摩天轮上一点高度和时间之间的关系，通过图像和表格法体现，并提出了这样一个问题：对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？（2）罐头盒等圆柱形物体堆放，随着层数的增加，物体的总数就会增加，配以表格的形式，让学生填入不同的层数n，对应的物体总数y。同时，这个情境的重点不能放在数值的计算上，而是放在体会“两个变量的对应上”。（3）给出一个物理概念，热力学温度T与摄氏度t之间的关系式：T=t+273，T≥0，给出t=-43，-27，0，18时，求出相應T的值。同时提出这样一个问题：给定一个大于-273℃的t的值，你都能求出相应的T值吗？

从这三个问题的设置来看，教材的主要意图有哪些，老师有没有理解到位，是能否上好函数概念的基础。

我认为教材中的三个情境，主要意图有这几点：（1）每个情境中有两个变量，并且体会两个变量之间的依存关系。（2）描述两个变量之间的关系，我们通常有三种方式，并且这三种方式有时可以转换，有时却不容易表达。（3）情境三中感受“变量”和“常量”的区别。那么情境一和情境二中有没有常量？这个常量在哪里？（4）两个变量中，有一个是自变量，一个是因变量，并且因变量是随着自变量的变化而变化。除了这些比较明显的意图之外，还有两点是我们忽略的：（1）在第一个情境中，我们看到给定t只有一个h与之对应，但是一个h的值却有几个t与之对应。（2）在第三个情境中，对于自变量和因变量的取值范围有一个条件。之所以我们会忽略后面两点，是因为在我们初中函数的教学要求中，对一一对应和自变量因变量的取值范围并没有做过多的要求，因此我们往往就忽略了这一点。

3.函数教学中要强调学生对函数概念的理解

通过课本上的三个情境，归纳共同点，同时在教学中可以引导学生举出更多的实例，让学生自己举出例子，在同学们已有的的变量常量、自变量因变量的基础上，引出函数的概念：在一个变化过程中有两个变量，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数。表示函数的方法一般有列表法、关系式法、图像法。很显然，我们初中阶段的函数概念是根据欧拉给出的概念，强调一個变量随着另一个变量的变化而变化，这种过程叫做函数。那么我们在教学的时候就应该强调函数的概念，拿出具体的实例，分析清楚是哪个变量随着哪个变量的变化而变化。例如，情境一中，高度h随着时间t的变化而变化，因此h是t的函数，但是反过来t是h的函数吗？如果只是生硬地记：因变量是自变量的函数，那么在遇到自变量和因变量不明确时，学生就分不清谁是谁的函数了。我们在教学时，忽略了概念中“唯一”二字，在情境一中，一个t的值对应一个h，反过来一个h的值却对应几个t的值。因此只能是“多对一”而不能“一对多”。

4.讲清函数的三种表达形式之间的联系

初中阶段我们的函数一般采用列表法、图像法和关系式法三种表达形式，这三种表达形式是联系着的，不是互相孤立的，在我们教学中要强调这三种方法之间的联系，当我们重点讲解表达式法的时候，问问学生这个函数如果用列表法怎么表示，如果用图像法怎么表示。当然受我们初中阶段学生知识水平的局限，并不是所有的函数都能够用这三种方式表现出来，但是学生要懂得三种方式是共同存在的，不是孤立的。

初中阶段我们学习的一个特别的函数是三角函数，在三角函数中，并不要求学生在函数的观点下研究三角函数，这是初中学生的知识水平决定的，但是我们教学中并不能脱离“函数”的概念，单独以“三边的比例”这一观点来教学，相反，这是一个很好的落实函数概念的契机。给定一个角度的值，就有唯一一个边的比例的值与之对应，边的比例随着角度的变化而变化。虽然我们现在并不能画出函数图像，但是这不正是一个契机，让学生能够明白函数的本质就是对应关系，而不是表现形式吗？

5.加强函数与相关学科以及实际生活的联系

函数关系不仅广泛存在于学生的数学课程之中，还与其他学科以及学生的实际生活有密切的联系。如：物理学中的自由落体运动、加热过程中的温度、生物学中的细胞繁殖速度等等与时间的关系，经济学的生产成本的核算、生产工效的提高等等大多数问题都可以归结为函数关系。函数关系还与学生的实际生活息息相关，如，身高、体重等与年龄的对应关系，电话费、水电费、出租车费与用时的关系，银行利息与存款时间的关系等等都是函数关系。

总之，函数的教学是初中数学的结尾，也是高中数学的起始，它固然有它的难度，但是作为老师如果自己都不能把握函数概念的本质又如何教学生呢？函数的概念是函数教学的基石，要舍得花时间，把函数的概念讲透，学生才能进一步学习各种函数。诚然，函数的综合题涉及的是多种知识的综合运用，不仅仅是函数的知识，但是函数的教学是我们初中阶段最后的压箱石，更是学生进入高中进一步学习函数的基础，所以需要我们在函数教学上花时间研究，花时间设计，为学生后面的数学学习提供好的生长点。

参考文献：

卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].陕西师范大学出版社，2018.