例谈数列求和
——裂项相消法

赵秋鸣

(河北省唐山市第二中学 063000)

数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.等差数列，等比数列的通项，数列求和等问题，每年都是考查的重点.数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法，必须掌握常用的数列求和方法，数列求和的常见方法有错位相减法、裂项相消法、分解转化法、倒序相加法，数列求和往往和其他知识综合在一起，综合性较强.下面通过例题来说明用裂项相消法求数列前n项和，希望能对同学们有所帮助.

例1已知等差数列{an}的前n项和是Sn，等差数列{bn}的各项均为正数，且a1=1，S5=25，S2=b2，S4=b4．

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

∴an=1+2(n-1)=2n-1．

∴S2=b2=4，S4=b4=16．

∵{bn}是各项均为正数的等比数列，

∴bn=b2qn-2=2n．

点评本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力．

例2已知数列{an}满足a1=1，an+1=2Sn+1，其中Sn为{an}的前n项和，n∈N*．

(1)求an；

分析(1)数列{an}满足a1=1，an+1=2Sn+1，n≥2时，an=2Sn-1+1，相减可得：an+1-an=2an，即an+1=3an，利用等比数列的通项公式即可得出．

解(1)数列{an}满足a1=1，a2=2S1+1=3.an+1=2Sn+1，

n≥2时，an=2Sn-1+1，

相减可得：an+1-an=2an，即an+1=3an，n∈N*.

∴数列{an}是等比数列，公比为3，首项为1．

∴an=3n-1．

(2)数列{bn}满足

∴{bn}的前n项和为

对任意的正整数n都有Tn

点评本题考查了数列递推关系、等比数列的定义通项公式、裂项求和、数列的单调性、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力．

例3设数列{an}的前n项和Sn，Sn=n2(n∈N*)．

(1)记bn=22n-1，求数列{bn}的前n项的和Tn；

分析(1)根据当n≥2时，an=Sn-Sn-1，当n=1时，a1=S1，求出an=2n-1，从而求出bn=22n-1，用等比数列的前n项和公式可得答案；

(2)利用“裂项求和”即可得出．

解(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，

当n=1时，S1=1，∴a1=1，符合上式，∴an=2n-1.

∵bn=22n-1，

点评本题考查了等差数列前n项和与an的关系、等比数列的前n项和公式，裂项求和，考查了推理能力与计算能力.

分析因为Tn←bn←Sn←an←a1,d，所以应确定{an}的首项及公差.

Tn=b1+b2+b3+…+bn

点评本题中的条件较多，通过分析找出基本量，简化条件，同时明确解题方向. 求数列{bn}的前n项和Tn使用的是裂项法.

通过以上例题的分析，我们可以看到由于条件不同，裂项方法不同，具有很强的灵活性，但我想信只要同学们在平时学习中多练习这类题，能够积累一些方法技巧，体会解法思路，肯定会有大的收获.