判别式在中学数学解题中的应用

覃曦

【摘 要】一元二次方程的根的判别式是判断一元二次方程的根存在与否的重要依据，且在研究不等、二次三项式、二次函数、二次曲线及求某些函数的定义域、值域以及极值等方面都有广泛应用，在中学数学中具有重要的地位.本文主要讨论了一元二次方程的根的判别式在中学数学解题中的应用.本文讨论了判别式在中学数学八大类问题中的应用：第一类是解方程问题，特别是解决复杂的方程问题;第二类是求参数问题;第三类是解决函数的有关问题;第四类是求最值问题;第五类是用于证明命题;第六类是在平面几何中的应用;第七类是在解析几何中的应用;第八类是在实际问题中的应用.

【关键词】一元二次方程;判别式; 解题; 应用

定义：把叫做一元二次方程（）的根的判别式，通常用符号“”表示。

中学数学中，一元二次方程、二次函数、一元二次不等式、二次三项式这四个“二”的组合，使得一元二次方程的根的判别式产生出许多妙用，它使得一些题目化繁为简，化难为易。

若能恰当的处理好判别式与四个“二次”的關系，在解决有关问题中就能起到事半功倍的作用。

一、解方程

当命题涉及比较繁杂的二元二次方程、二元高次方程、非整式方程、超越方程及高次方程组时，可以考虑用判别式法化繁为简、化难为易，使问题得到顺利解决。

1、解二元二次方程

例1.（希望杯试题）求方程的实数解.

解：将原方程看成关于的一元二次方程.

为实数，

.

即，，将代入原方程得 .

原方程的实数解为 .

2、解二元高次方程

例2.（1995年江苏省初中数学竞赛试题）求方程的整数解.

解：将原方程整理成关于的方程

为整数，故， ，

即， ，

当时，原方程变为，解得 .

当时，原方程变为，此时无实数解 .

综上所述，原方程的整数解为 或   .

二、求参数

当问题涉及求方程中的待定系数、不等式中的参数、求代数式中的字母的取值范围时，可以巧妙的运用判别式法去解决，以达到事半功倍的效果.

1、结合方程的根的情况，确定系数的取值.

例3.当m是什么整数时，方程与的根都是整数解.

解：由题意得即

∴

又m是整数，故、0、1，将、0、1分别代入两个方程，

可知当时两个方程的根都是整数.

2、结合不等式的情况确定参数的取值范围.

例4.不等式对恒成立，求实数的取值范围.

分析：本题属于求恒成立的不等式中参数的取值范围的问题，可以利用二次函数的判别式进行转化求解.

解：（1）当时，且时，，不等式恒成立，当时，不等式对不恒成立.

（2）当时，要使不等式恒成立，有

解得，

综合（1）、（2）得为所求.

三、解决函数的有关问题

1、求函数的定义域.

例5.求函数的定义域.

分析：要使函数有意义，则真数必须大于零，因此问题转化为求不等式的解.

解：由，，

不等式 的解集为全体实数，即函数的定义域为R.

2、求函数的值域.

例6.求函数的值域

解：整理得，

即 ，函数的值域为.

综上所述，我们对于一些二元二次（二元高次、非整式、超越、高次）方程（组），参数的取值范围，函数的有关问题，即定义域（值域、解析式），最值问题，证明题，平面几何问题，解析几何问题，生活中的实际问题等，如果能够充分的挖掘其题目的特征，将其看成（转化、构造）一元二次方程（不等式，函数），再依据方程根的存在性（与不等式的解的情况、函数图象与轴交点的个数），利用判别式即可使问题得到顺利解决.其一般步骤是：问题转化（构造）一元二次方程（不等式、函数）判别式结论.

这种解决问题的方法具有思路清晰，解法简捷和步骤程序化的特点，并且常能避免问题的复杂的计算，有助于知识的横向联系和解题能力的提高.

参考文献

[1]王景泰 .判别式与四个“二次”的关系及应用[J].数学教学研究，2005 （5）：17.

[2]查鼎盛，余鑫晖，黄培铣.初等数学研究[M] .广西：广西师范大学出版社1999（7）：111-114 .

[3]孔星明.用判别式解题[J].中学数学月刊， 2004（10）：32-34.