基于MATLAB的非线性电路特性仿真研究

李佳伦

【摘 要】实际电路都是非线性的。非线性电路具有很多和线性电路完全不同的特性，表现出非线性电路独有的一些行为。论文利用MATLAB搭建了不同的非线性电路模型，然后利用数值仿真，分析了非线性电路稳态不唯一、极限环、混沌等三个典型特性，直观展现了非线性电路中稳定与不稳定平衡点、极限环、混沌等不同行为的具体表现，分析了非线性电路轨迹与初始点的相关性，为了解非线性电路特殊的行为提供参考。

【关键词】非线性电路;平衡点;极限环;混沌

中图分类号： TN710 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）24-0047-004

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.24.023

【Abstract】All actual circuits are nonlinear. Nonlinear circuits have many different characteristics from linear circuits， and some special behaviors would appear. The paper uses MATLAB to build different nonlinear circuit models， and then uses numerical simulation to analyze three typical characteristics of nonlinear circuits， i.e. multiple steady states， limit cycle and chaos， and visually shows the stable equilibrium point and unstable equilibrium point， limit cycle， chaos and other characteristics in nonlinear circuits. The paper also analyzes the dependence of trajectories of nonlinear circuits on the initial points. The results provide a reference for understanding the special behaviors of nonlinear circuits.

【Key words】Non-linear circuit; Equilibrium point; Limit cycle; Chaos

0 引言

在線性电路中，线性元件的特点是其参数不随电压或电流而变化。若元件的参数随着电压或电流而变化，则该元件称为非线性元件，含有非线性元件的电路称为非线性电路。严格来说，一切实际电路都为非线性电路，因为实际元件的参数总会随着电压或者电流变化而发生改变。一般情况下，把非线性程度比较微弱的电路元件作为线性元件来处理，不会有太大影响，并且还能够简化运算。但是，很多非线性元件的非线性特征不容忽略，若将这些元件按照线性元件来处理，计算结果必会与实际测量值相差甚远，无法解释电路中的某些现象。因此分析研究非线性电路具有重要意义。

和线性电路相比，非线性电路的特性要复杂得多，会出现大量独特的现象，如稳态不唯一、极限环、混沌等[1-4]。但是，目前对于一般非线性电路的还缺乏有效的解析分析方法，因此，本文主要采用数值仿真方法对非线性电路的特性进行研究。

1 稳态不唯一

电路的稳态解可通过求解表征电路平衡状态的一组代数方程组获得。对于线性电路，该代数方程是线性的，解是唯一的，因此线性电路的稳态唯一。对于非线性电路，该代数方程是非线性方程，可能存在多解，导致非线性电路的稳态不唯一。

当给非线性电路一个直流电源激励时，若电流和电压不再随时间变化，则此时的电路处于平衡状态。若这时给电路一个微小的扰动并消除，使电压电流略微偏离稳态。如果电压电流能变回原来的状态，则称这个平衡点是稳定的，反之，则此平衡点是不稳定。

本文以非线性电阻电路为例来讨论非线性电路平衡点的稳定性。电路如图1所示。其中电阻r1、电感L、电容C是线性的，参数r1=0.4Ω，L=1H，C=1F，直流电压源E=4V，非线性电阻的伏安特性用u=f（i）表示，具体为u=0.82×i-0.4×（i-1）2+0.1×（i-3）3+0.4+2.7。

在图2的3个平衡点中，有稳定的和不稳定的。给电路设定一系列初始值，用MATLAB进行仿真，观察在u-i平面上的轨迹，经过一段时间后会收敛到哪个点。结果图如3所示。可以直观地看见，电路最后到达的稳态在A、C两点，而B点为不稳定点，一系列初始值都不会收敛于B点。非线性电路有多个平衡点，电路收敛于哪个平衡点由起始条件决定。

2 极限环

非线性电路中的极限环对应着电子学中各种自激振荡电路。范德坡方程电路是一个经典的非线性电路。与线性电路方程相比，范德坡电路方程的解有新的特点：产生稳定的极限环。

MATLAB仿真出的波形与极限环结果如图5和图6所示。uc-iL图中可看出有单一的闭合曲线存在。这种单一的或孤立的闭合曲线称为极限环，并且初始点不论在极限环内还是在极限环外，最终都将收敛到极限环并沿极限环运动。这表明所研究电路最终会建立起周期性振荡，且与初始条件无关，即存在一个稳定的极限环。范德坡电路中产生的持续振荡就是一种自激振荡，与线性电路中的振荡有明显区别，线性电路中的振荡振幅是与初始条件有关的，而范德坡电路中持续振荡的振幅由极限环决定，与初始条件无关。

3 混沌

混沌现象普遍存在于宇宙间各式各样的宏观与微观系统中。粗略地说，混沌是发生在确定性系统中的不确定行为，或类似随机的行为。在非线性电路中，混沌现象广泛存在，蔡氏电路是当前众多混沌电路中最具代表性的一种，其典型的电路结构已成为理论和实验研究混沌的一个范例。

蔡氏电路[5]是蔡少棠教授首次发表出的，它是能产生混沌行为最简单的自治电路，仅包含三个储能元件，以及一个特性相对简单的非线性电阻。蔡氏混沌系统是由线性电阻、电感、电容和一个非线性，电阻原件组成，它满足混沌电路产生的条件为：

（1）一个或者多个的非线性元件。

（2）一个或者多个的本地有源电阻。

（3）三个或者更多个能量存储元件。

本文采用经典蔡氏电路模型，如图7（a）所示，一个线性电阻（R），一个必不可少的非线性元件，即一个非线性电阻（Rn），三个储能元件，分别为两个电容（C1，C2）、一个电感（L），其中的电容与电感都是线性元件。构成一个三阶自治动态电路。非线性电阻为蔡氏二极管，其伏安特性曲线是一个多段线性函数，如图7（b）。电路中电容C1与有源非线性电阻Rn组成一个RC滤波电路;电感L和电容C2构成一个LC振荡电路。滤波电路与振荡电路通过一个线性电阻R进行耦合，即能产生复杂的混沌现象的非线性电路。

对该电路进行数值仿真，电压电流时域波形和相平面上的轨迹分别如图8和图9所示。从图8可以看到，电压电流波形呈现复杂的、无休止的无周期运动形态。V1与Il的在两个正负值之间跳跃，波形相同而极性相反。V2在零上下无规律变化。说明了混沌振荡的非周期性。由图9的相图可见，V1-V2-Il在三维空间的轨迹绕两个点旋绕，做不闭合的无周期运动。在相平面上它的相轨道始终不会重复，但是有界的，即在一定的有界范围有遍历性，且对初始条件极为敏感。这些都是混沌运动的特点。

4 总结

非线性电路具有很多不同于线性电路的特殊性质。本文利用MATLAB，搭建了不同的非线性电路模型，然后通过数值仿真分析了非线性电路的三个突出特性，即稳态不唯一、极限环和混沌，更好的理解非线性电路中各种非线性现象。随着科学技术的进步，电子技术得到迅猛发展，新的电子器件也不断出现。高度非线性电子器件的广泛应用，使得研究非线性电路十分必要。

【参考文献】

[1]徐清华.非线性电路分析[M].高等教育出版社，1992.

[2]刘崇新.非线性电路理论及应用[M].西安交通大学出版社，2007.

[3]張新国等编著.非线性电路：基础分析与设计[M].高等教育出版社，2011.

[4]邱关源，罗先觉主编.电路.第5版[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5]赵桂清.蔡氏混沌电路分析研究[J].科技创新与应用， 2015（26）.