加权平均值在高中物理中的应用

叶银

摘 要：本文介绍了加权平均值与一般算术平均值的区别，区分对时间的平均值和对位移的平均值，明确常用的平均速度其实是速度对时间的加权平均值，利用平均速度可以快速求解常见的安培力冲量，巧解洛伦兹力冲量.

关键词：加权平均值;平均速度;变力冲量

文章编号：1008-4134（2019）17-0060中图分类号：G633.7文献标识码：B

初中阶段学生已经掌握求匀速直线运动的位移、求恒力做功、求恒定电流的电荷量等问题的方法，那么又如何解决变速直线运动的位移、求变力做功、求变力的冲量等问题呢？用微分累积化“变”为“不变”可以很好地解决这类问题，但是在中学阶段学生还未系统地學习微积分和微元法，对微分思想的认识还不够深入，在处理实际问题时，应该尽量回避用微分思想解决问题.平均值是学生已经掌握的概念，求某个变化的物理量的平均值，实际上是找一个恒定的物理量，让它的效果与该变化的物理量相同，实现“等效替代”.在物理学中涉及的平均值大多是加权平均值，由于学生对加权平均值的概念理解不够，尤其是不能很好地区分对时间的平均和对位移的平均，在解决实际问题时经常容易混淆.

1 发现问题

例1 如图1所示，水平放置的光滑平行导轨，固定在桌面上，导轨间距为L，处在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场当中.桌子离开地面的高度为H.初始时刻，质量为m的M杆与导轨垂直且处于静止，距离导轨边缘为d.质量同为m的P杆与轨道垂直，以初速度v0进入磁场区域.最终两杆先后落在地面上.已知两杆的电阻均为R，导轨电阻不计，两杆落地点之间距离为s.求M杆射出时，P杆运动的距离.

错误解法：根据题干条件可知，最终M杆的速度一定小于P杆.

设M杆平抛的水平距离为x，则P杆抛出的水平位移为x+s，根据平抛运动的规律和动量守恒定律有

H=12gt2

x=vMt

x+s=vPt

mv0=mvp+mvM

解得：vp=12（v0+sg2H），vM=12（v0-sg2H）

设M杆射出时，P杆运动的距离为xP，由于P杆和M杆所受的安培力大小始终相等，设安培力的平均值为安，对M杆应用动能定理有

安d=12mv2M

对P杆用动能定理有

-安xp=12mv2P-12mv20

两式联立，解得xP=4v20d-dv0+sg2H2v0-sg2H2

粗略一看，先用平抛运动的规律求出P杆和M杆抛出时的速度，再对P、M杆分别用动能定理，思路非常清晰.但经过深入分析，发现这里对安培力的平均值安的定义是模糊的.P杆和M杆所受的安培力时刻都相等，那么安培力的平均值是不是就一定相等呢？要搞清楚这个问题，就要先弄明白什么是平均值.

2 算术平均值和加权平均值

最简单的平均值是算术平均值，是指一组数中所有数据求和再除以数据的个数.即

= x1+ x2+ x3+…+ xn n

比如有5个学生参加考试，得分分别是82、78、88、64、93，其平均分是

82+78+88+64+935=81

什么是加权平均值呢？举个例子：某校有5个班级，编号为1班至5班，人数分别是32人、35人、32人、45人和30人.在某次考试中，1班至5班的平均分分别是82分、78分、88分、64分和93分，那么这5个班级的总平均分是82+78+88+64+935=81吗？显然不是，因为在用每个班的平均分之和再除以班级总数的时候，每个平均分对应的班级人数是不同的，因此，每个平均分所占的比重应该不同.平均分为64分的4班有45人，人数最多，显然应该占有更多的比重，平均分为93分的5班有30人，人数最少，显然应该占有较小的比重.

我们可以这样来求所有学生的总平均分：

=32×82+35×78+32×88+45×64+30×9332+35+32+45+30

=79.54

物理量x的加权平均值一般表达式可以写成

= w1 x1+ w2 x2+ w3 x3+ … + wn xn w1+ w2+ w3+ … + wn= ∑n1wi xi ∑n1wi

其中wi∑n1wi 代表xi所占的权重比.

3 直线运动中速度对时间的加权平均值

在求变速直线运动的位移时，高中阶段常利用v-t图象包围的面积来处理.在处理时，先将整个过程分割成无数个子过程，每个子过程的时间分别是Δt1、Δt2、…Δtnn→∞.由于每个子过程的时间很短，可以用每个子过程的初速度vi来近似描述该子过程运动的快慢，整个过程速度对时间的加权平均值为

v-=v1Δt1+v2Δt2+…+vnΔtnΔt1+Δt2+…+Δtn

其中v1Δt1+v2Δt2+…+vnΔtn等于总位移 x，Δt1+Δt2+…+Δtn等于总时间t.根据平均速度的定义v-=xt可知，速度对时间的加权平均值其实就是平均速度，而由x=v-t可知，我们可以用速度对时间的加权平均值（以下简称平均速度）乘以时间来求总位移，如图2所示.由于动生电动势E=BLvsinθ和洛伦兹力f洛=qvBsinθ中都涉及速度v这个物理量，所以在其他物理量不变的情况下，动生电动势、洛伦兹力对时间的加权平均值可以利用平均速度乘以时间来求.

4 區分对时间的加权平均值和对位移的加权平均值

由加权平均值的概念可知，用力对位移的加权平均值乘以位移可以求功，W=Fxx，用力对时间的加权平均值乘以时间可以求冲量，I=tt.但是在求解具体问题时，两者容易混淆.

例2 质量为m=50kg的铁锤从离木桩h=1.8m高处静止下落，打到质量M=150kg的木桩上，铁锤碰后不弹起，结果木桩被打入土中d=20cm深，求此过程中木桩受到土地的平均作用力.（不计空气阻力，g取10m/s2）

解：从铁锤开始下落到刚接触木桩由动能定理有

mgh=12mv2

v=6m/s

铁锤和木桩碰撞后不分开，根据动量守恒定律有

mv=m+Mv1

v1=1.5m/s

碰撞后到木桩静止，由动能定理有

m+Mgd-Fd=0-12m+Mv21

解得：F=1325N.

例3 一铁球，从静止状态由h=5m高处自由下落，然后陷入泥潭中，从进入泥潭到静止用时t=0.5s，该铁球的质量m=0.5kg，求泥潭对小球的平均作用力.（不计空气阻力，g取10m/s2）

解：从铁球开始下落到刚接触地面由动能定理有

mgh=12mv2

v=10m/s

从接触地面到静止，根据动量定理有

mgt-Ft=0-mv

得F=15N.

例2和例3中看起来都是求平均作用力，但是例2中运用了动能定理，其中涉及的功是力的空间累积效应，所以以此求得的平均作用力是对位移的加权平均值;而例3中运用的是动量定理，其中涉及的冲量是力的时间累积效应，以此求得的平均作用力是对时间的加权平均值.如果不能很好地区分到底是对哪个变量的加权平均值，很容易张冠李戴.

我们再来分析例1：在求得P杆和M杆水平射出的速度后，对两杆用动能定理时，式中的安应该用安培力对于位移的加权平均值.根据题意，任意时刻两杆所受安培力大小始终相等，因此两杆中的安培力对时间的加权平均值是一样的，但是两杆在任意相同时间内的位移不同，导致两杆的安培力对位移的加权平均值是不一样的，因此无法通过两式消去安.

正确的解法：求得P杆和M杆抛出时的速度后，假设从开始到M杆射出时，P杆运动的距离为x，对P杆用动量定理有

-安t=mvP-mv0

其中，安为安培力对时间的加权平均值，由于B、L、R为常数，所以

安=BL

=2R

=BLv-P-v-M

代入动量定理方程可得

-BBLv-P-v-M2RLt=mvP-mv0

此处v-P和v-M应是P杆和M杆速度对时间的加权平均值，则

v-Pt=x

v-Mt=d

代入可得x=d+RmB2L2v0-sg2H

5 利用平均速度求安培力冲量

在有电磁感应的动力学问题中经常需要求安培力的冲量，当安培力是变力的时候，可以用安培力对时间的加权平均值来求安培力冲量.当其他物理量不变的情况下，可以利用平均速度快速地求出安培力冲量.

例4 如图3所示，两根相互平行、间距为d的竖直导轨，下端连接阻值为R的电阻.在竖直导轨间的区域仅有垂直纸面的匀强磁场B（未画出）.一根阻值为R1、质量为m的导体棒ab从静止开始下滑，经t时间后下降了h，求此过程产生的焦耳热.假设棒始终与导轨垂直，且与导轨接触良好，不计摩擦阻力和导轨电阻.

解 取竖直向下为正方向，该过程对导体棒用动量定理有