二项式函数在组合式问题中的应用

张宇

【摘要】组合式求和与证明是组合数学中较为常见的问题，本文通过二项式函数的定义给出了5个运算性质，用于解决较复杂组合式求和与证明问题时，能使运算更加简单明了.

【关键词】二项式函数;性质;恒等式

首先我们引入二项式函数的定义：

f：C→{Ckn}，使对x∈C有f（x）=Ckn，

Ckn=f（x）=cont（1+x）nxk，

注：cont为constant的缩写.

称此函数f（x）为二项式函数.由二项式定理我们可以知道该函数的含义为多项式（1+x）nxk展开式中的常数项.

设p（x）=∑-∞

性质1cont（kp（x））=k·cont（p（x））.

性质2cont∑nk=1akpk（x）=∑nk=1akcont（pk（x））.

性質3cont（a+x）nxk=an-k·Ckn.

事实上，cont（a+x）nxk=Cknxkan-kxk=an-kCkn.

性质4contk（1+x）nxk=contn（1+x）n-1xk-1

=cont（n-k+1）（1+x）nxk-1.

事实上，k·Ckn=n·Ck-1n-1=（n-k+1）·Ck-1n.

性质5cont（1+x）nxk=cont（1+x）n-1xk+cont（1+x）n-1xk-1.

事实上，Ckn=Ckn-1+Ck-1n-1.

例1求∑nk=0k（Ckn）2的值.

解由二项式函数的性质可进行计算

∑nk=0k（Ckn）2=∑nk=0Ckncontk（1+x）nxk

=∑nk=0Ckncontn（1+x）n-1xk-1

=ncont（1+x）n-1∑nk=0Ckn·1xk-1

=n·cont（1+x）n-1∑nk=0Ckn1xk·x

（注：∑nk=0Ckn1xk=1+1xn二项式定理）

=n·contx（1+x）n-11+1xn

=n·contx（1+x）n-1（x+1）nxn

=n·cont（1+x）2n-1xn-1

=nCn-12n-1.

例2证明恒等式∑ki=0（-1）iCk-in=Ckn-1.

证明左边=cont∑ki=0（-1）i（1+x）nxk-i

=cont∑ki=0（-1）ixi（1+x）nxk

=cont（1+x）n-1xk·∑ki=0（-1）ixi（1+x）

=cont（1+x）n-1xk·∑ki=0（-1）ixi+∑ki=0（-1）ixi+1

=cont（1+x）n-1xk·（x0+（-1）kxk-1）

=cont（1+x）n-1xk·（1+（-1）kxk+1）

=cont（1+x）n-1xk+cont（1+x）n-1·（-1）k·x

=cont（1+x）n-1xk+0（乘x后没有常数项）

=Ckn-1.

通过上述的例题可以发现二项式函数在组合求值与证明恒等式中发挥的重要作用.

【参考文献】

[1]曹汝成.组合数学（第二版）[M].广州：华南理工大学出版社，2012.

[2]赵海霞，陈利霞，段雪峰.组合恒等式的证明方法[J].高等数学研究，2015.（4）：77-79.

[3]薛展充.竞赛数学中的组合恒等式[D].广州：华南师范大学，2007.