网购环境下考虑退货因素和不同到达率的排队库存系统

田鸽 岳德权

摘 要：为了应对网购环境下电商企业库存问题的挑战，在提高服务水平的基础上，考虑可退货和到达率受库存水平影响条件下的排队库存系统。利用拟生灭过程理论给出系统稳态平衡条件。利用矩阵几何解法获得系统稳态概率的矩阵几何解，进而得到系统稳态性能指标和效益函数，通过数值算例研究系统参数的变化对性能指标以及效益函数的影响，并数值求解系统的最优库存控制策略。

关键词：排队库存系统；退货；非齐次泊松到达过程；库存策略；矩阵几何解

中图分类号：TB 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2019.33.105

1 引言

互联网和电子商务的快速发展，为网购平台的发展扩大带来重要契机。大数据技术的不断进步，为用户提供越来越智能、方便、快捷的购物体验。新时代的消费者对网购模式越来越认可，据中国互联网络信息中心发布的统计报告，截至2018年12月，我国网络购物用户规模达到6.10亿，年增长率为14.4%。根据商务部发布的统计报告，2018年全国网上零售额突破9万亿元。

网络购物中产品的多样化和购买信息的公开化使顾客有更多的选择，为了增加竞争力，电商企业在库存管理时既要控制成本，还要考虑到服务水平。排队库存系统是排队系统与库存系统的集成系统，既考虑顾客服务水平对库存控制的影响又考虑库存管理对顾客排队服务的作用。排队库存系统研究始于Sigman和Simich-Levi，他们研究了M/G/1排队库存系统模型， 提出了计算系统性能指标的轻话务近似计算方法。此后，陆续发表了许多排队库存系统的研究工作，详见综述文献[4]。近期有关排队库存系统模型的研究也有很多工作，文献[5]研究了具有一般补货时间的M/M/1排队库存系统模型，文献[6]考虑了服务完的顾客按照一定的比例获得库存产品的M/M/1排队库存系统模型，文献[7]研究了售后服务中心维修能力和维修部件库存的管理问题。

由于网购的特征和电商平台关于退货的规定，电商企业的退货大幅增加，其库存控制成为一大难题。在考虑退货的库存控制的研究中，樊双蛟和王旭坪构建了退货再次销售的单周期库存模型，以销售利润最大化为目标，对商品定价和订货量进行联合决策。Qin和Yue研究了考虑服务时间和产品退回的生产库存系统，得到了队列长度和现有库存乘积形式的稳态分布，通过数值分析研究了系统参数对性能指标和费用函数的影响。

关于排队库存系统的文献中，多是假设顾客需求的到达服从指数分布，但是现实生活中，顾客需求的到达会受到库存水平的影响。在经典的库存系统中，需求和库存相依的研究受到很多学者的关注。Baker和Urban设需求率是库存水平的多项式函数，采用非线性规划算法确定了最优订货点和订货量。刘明等研究了需求率同时依赖于库存和价格的生产库存系统，运用最大值原理并根据模型参数的不同取值，获得了三种可能的解，并对其进行了详细分析。

本文以降低库存费用，提高电商企业效益和服务水平为目的，研究网购环境下考虑退货因素和不同到达率的排队库存系统。假设需求到达是非齐次的泊松过程，考虑产品的退回和维修对库存管理的影响，建立连续时间的马尔可夫过程，利用矩阵几何解的方法，得到系统的性能指标和效益函数，利用Matlab进行数值实验分析系统参数的敏感性，得到最优库存控制策略。

2 模型描述

模型的基本假设如下：

（1）顾客需求到达网店页面的到达过程是非齐次的泊松过程，参数为λi，i是现有库存水平1

，假设顾客浏览网店页面决定是否下单的时间忽略不计，顾客下单购买的概率为p（0

（2）每个订单的服务时间服从参数为μ的指数分布，每个服务需要消耗一个单位库存，系统中只有一个服务台，采用先到先服务的服务规则。

（3）系统采用（s，S）策略补货，即当系统的库存水平下降到s时，系统立即发出补货信号，经过一个随机的补货前置时间，库存水平恢复至S（s

（4）顾客退货时间间隔服从参数为γ的指数分布，顾客退货的商品经检验不影响二次销售的概率为a（0

（5）库存为0时，顾客不进入系统，已进入系统等待的顾客不流失。

3 系统稳态分析

3.1 稳态条件

定义系统状态过程X（t）：t≥0=N（t），I（t）：t≥0，N（t）表示t时刻系统中的顾客队长，I（t）是系统在t时刻的库存水平。因此，系统的状态空间Ω=（n，i）：

过程N（t），I（t）：t≥0正常返当且仅当φCe<φBe，可得系统的稳态条件是∑Si=1λiφi<μ（1-φ0）。

3.2 稳态分布

定义稳态概率向量πn，i=limt→

系统稳态概率向量具有如下矩阵几何解的形式

其中π0满足方程组 π0（A0+RB）=0π0（I-R）-1e=1，R是矩阵二次方程R2B+RA+C=0的最小非负解。

利用循环简约算法，得到方程R2B+RA+C=0的最小非负解R，进而得到具体的稳态概率向量。

3.3 系统性能指标

利用3.2节给出的稳态概率，可求得如下一些重要的系统性能指标。

3.4 效益函数

令C1表示单位时间单位产品的收益，C2表示单位产品在单位时间内的库存费用，C3表示顾客等待引起的损失费用，C4表示单位时间内的需求损失，C5表示一次补货的固定费用，C6表示单位产品的补货成本，C7表示检验单位退货产品所需的费用，C8表示单位不合格产品打折销售损失的费用。根据系统性能指标，得到系统单位时间内的效益函数：

F（s，S）=C1Eor-（C2Einv+C3El+C4Edl+（C5+C6Ep）Erep+C7Eret+C8Emc）

效益函数F（s，S）是关于决策变量s，S的复杂的非线性函数，决策变量s，S的取值受到库存空间和产品进销策略及成本的限制，假定库存容量有上限0

4 数值分析

本章给出数值例子，分析研究系统参数的变化对系统性能指标以及效益函数F（s，S）的影响，得到最优库存控制策略。特别地，假设顾客需求到达网店页面的平均速率与库存水平的函数关系式为λi=λiβ，0<β<1，其中λ为规模参数，β为形状参数。

设库存成本参数C1=350，C2=20，C3=5，C4=12，C5=300，C6=200，C7=16，C8=40。

图1反应非齐次泊松到达规模参数λ，浏览转化率p对平均顾客需求损失率和效益函数的影响，其他参数设置为：μ=22，υ=0.6，γ=1.6，a=0.85，η=1.5，β=0.38，s=8，S=20。

如图1所示，当p取某一定值时，平均顾客需求损失率随着λ的增大而增大。当λ取某一定值时，平均顾客需求损失率随着p的增大而减小。当p取某一定值时，效益函数随着λ的增大而增大。当λ取某一定值时，效益函数随着p的增大而增大。尽管到达率的增加会使平均顾客需求损失率增大，但是效益函数的变化趋势是上升的，可以通过加大宣传等措施吸引顾客到达，提高效益，另外通过增大浏览转化率p，降低平均顾客需求损失率，从而获得更多的效益。

如表1所示，当最大库存限制M为某一定值时，在最优库存控制的情况下，随着到达参数λ和λ′的增大，非齐次泊松到达和相对应的齐次泊松到达系统的效益函数均增大，当到达参数λ和λ′为定值时，库存量增大，非齐次泊松到达和相对应的齐次泊松到达系统的效益函数增大，电商企业可以在合理范围内增大库存量，并且采取措施提高顾客到达率，改进企业的经营。

当λ，λ′和M为某一定值时，非齐次泊松到达系统的效益函数较大一些，电商企业可以通过向顾客展示库存信息刺激顾客购买需求，获得较大的利润。相对于齐次泊松到达系统，非齐次泊松到达系统需要设置更高的安全库存，以应对变化的顾客需求。

表2反应退货比率对与库存相关的性能指标、系统费用函数、效益函数和最优库存控制策略的影响，设C（s，S）=C2Einv+C3El+C4Edl+（C5+C6Ep）Erep+C7Eret+C8Emc表示系统费用函数，退货比率是系统退货参数γ与顾客到达参数pλ-之比，用ρ=γpλ-表示，其他参数设置为：

λ=7.5，p=0.3，μ=22，υ=0.6，γ=1.6，a=0.85，η=1.5，β=0.38

如表2所示，随着退货比率ρ的增大，平均库存水平、 平均退货率、效益函数增大，平均补货率、平均补货量减小，不合格产品平均修理率略有减小，系统费用函数减小，最优库存策略减小。当退货比率增大时，在满足顾客需求的前提下，补货应适当减少。

5 结论

本文研究了网购环境下可退货和到达率受库存水平影响条件下的排队库存系统。建立连续时间的马尔可夫过程，给出了系统性能指标和效益函数，通过数值分析得出了系统参数对性能指标和效益函数的影响，对电商企业的管理经营具有指导借鉴意义。

参考文献

[1]第43次中国互联网络发展状况统计报告[R].中国互联网络信息中心，2019：33.

[2]商务部：2018年全国网上零售额突破9万亿元[EB/OL].https：//baijiahao.baidu.com/s？id=1626073473701485895&wfr=spider&for=pc.

[3]Sigman K，Simchi-Levi D，Light traffc heuristic for an M/G/1queue with limited inventory[J].Annals of Operations Research，1992，40（1）：371380.

[4]Krishnamoorthy A，Lakshmy B，Manikandan R.A survey on inventory models with positive service time[J].OPEARCH，2011，48（2）：153169.

[5]Saffari M，Asmussen S，Haji R.The M/M/1 queue with inventory，lost sale，and general lead times[J].Queueing Systems，2013，75（1）：6577.

[6]Krishnamoorthy A，Shajin D，Lakshmy B.On a Queueing-inventory with Reservation，Cancellation，Common Life Time and Retrial[J].Annals of Operation Research，2016，247（1）：365389.

[7]Srivathsan S，Viswanathan S.A Queueing-based Optimization Model for Planning Inventory of Repaired Components in a Service Center[J].Computers & Industrial Engineering，2017，106：373385.