导体球壳内的电场

廖其力 邓 娅 余 艳

(重庆邮电大学移通学院，重庆 401520)

图1 点电荷与导体球壳(a) 球壳内点电荷与像点电荷; (b) 球壳内壁上感应电荷随极角的分布; (c) d=0.05m时的等势线; (d) d=0.09m时的等势线

电磁学理论[1，3]中静电场的基本规律是泊松(Poisson)方程(2φ=-ρ/ε)和拉普拉斯(Laplace)方程(2φ=0)，通过求解该方程和边界条件来研究点电荷与特殊形状的导体(比如无限大导体平面或者导体球) 相互作用下的电场，也可用格林(Green) 函数来研究点电荷作用下特殊形状导体周围空间的电场，但这些方法相对来说较为繁琐，尤其是求解连续带电体下特殊形状的导体周围空间的电场，其运算量太大无法给出解析结果。但用电动力学中[3]的镜像法来研究点电荷与无限大导体平面周围的电场、点电荷与导体球外周围的电场及作用力，就容易很多。文献[4～7]将镜像法应用于研究在连续带电体作用下导体球(或无限大导体平面)周围空间的电场，运用叠加原理和Mathematica软件研究了均匀带电线状体与无限大导体平面的电场力及其周围空间的电场、均匀带电线状体与导体球的相互作用力及其导体球外的电势以及带电圆环与无限大导体平面和导体球的电磁学问题。镜像法的原理是：导体球(或无限大导体平面)外的点电荷在导体球(或无限大导体平面)表面上产生的异种感应电荷在导体球(或无限大导体平面)外产生的电场，根据光学成像原理，等效于该点电荷经导体球面(或无限大导体平面镜)成像于像点处的异种电荷在导体球(或无限大导体平面)外产生的电场。本文从镜像法得到启示：根据光学的可逆性原理可知镜像法具有可逆性，即导体球壳内的点电荷在球壳内壁上产生的异种感应电荷在导体球壳内产生的电场，也等效于该点电荷经球面成像于像点处的异种电荷在导体球壳内产生的电场。运用逆镜像法和静电平衡条件，用Mathematica软件，计算了在导体球壳内任一位置处的点电荷作用下，球壳内壁上感应电荷的分布和壳内空间的电场分布，进一步计算了点电荷和球壳内壁上感应电荷的相互作用的电场力。并绘出在球壳内任一位置处的点电荷作用下，壳内壁上感应电荷随位置和角度的分布图像、导体球壳内空间的电势随位置的分布，以及点电荷与球壳内壁上感应电荷的电场力随位置的变化。再运用“逆镜像法”计算了球壳内沿径向放置的均匀带电线状体作用下，球壳内壁上感应电荷的分布规律和球壳内的电场，以及它们之间的相互作用力，也给出了相应变化的图像。

1 点电荷作用下导体球壳内的电场

如图1 (a) 所示，设导体球壳内径为R，外径为R′(R′>R)，在球壳内距球心距离为d(d

电磁学理论中的镜像法[3]是指：设半径为R的导体球外有一带电量为q的正点电荷，它到球心的距离为x(x>R)，它的电场会在导体球面上产生感应电荷，当处于静电平衡时，这些感应负电荷在导体球外空间(包括导体球表面)产生的作用效果(力学的、电磁学的等)等效于该正点电荷经导体球面反射成(虚)像于球心与正点电荷的连线上距球心距离为x′=R2/x的负电荷-q′在球外空间(包括导体球表面)产生的作用效果，其中负点电荷量为q′=qR/x。根据光路可逆原理，同样设半径为R的导体球壳内的有一带电量为q的正点电荷，它到球心的距离为d(d

(1)

其中R1、R2分别是P点到A处点电荷和A1处像点电荷的距离。为

(2)

及

(3)

将式(2)、式(3)代入式(1)可得：

(4)

容易验证：球壳内点电荷和球壳外像点电荷在球壳上的场强只有径向分量，其切向分量为零：

上式证明中用到了正弦定理sinα=dsinθ/R1、sin(θ+β)=d1sinθ/R2和d1=R2/d及式(2)。

该处感应负电荷的电荷密度大小σ与此处的电场强度大小E由静电平衡条件有：

σ=ε0E

(5)

其中，ε0为真空中的介电常数；E为球壳内壁上的所有感应负电荷和球壳内点电荷在该处产生的电场强度。则有：

(6)

容易验证球壳内壁感应负电荷的电量为q。

(7)

其中S表示对球壳内球面进行面积分。

下面研究导体球壳内部空间的电场。球壳内(包括导体球壳内表面)任意一点P1(x,y,z)的电势是由球壳内点电荷、球壳内壁上感应负电荷和球壳外表面上感应正电荷的叠加，而球壳内壁上感应负电荷在壳内产生的作用效果由逆镜像法可知,它等效于球壳外像点电荷产生的。若取无穷远处电势为零，则壳内任意一点P1(x,y,z)的电势为：

(8)

可进一步将式(8)化简为

(9)

当球壳内空间的电势确定时，由电势与场强的关系E=-φ就可知道球壳内任一点的场强了，即P1(x,y,z)点的电场强度在直角坐标系中的分量为

(10)

由对称性可知，内壁上感应电荷的分布及壳内部电场具有关于x轴的轴对称性，与方位角φ无关。为了直观地显示在点电荷位于球心不同距离且导体球壳处于静电平衡时，画出了球壳内壁上感应电荷随极角分布和壳内的不同电值势的分布的图像，在图1(b)～图1(d)中球壳半径取R=0.10m，在图1(b)是内壁上感应电荷面密度随极角θ的分布规律， 图像中是直线的表示感应电荷面密度不随极角变化而变化的是d=0，即点电荷位于球心处时的结果。图线从最右边自上而下分别对应距球心距离d=0m、0.01m、0.03m、0.05m、0.07m、0.09m反映壁上感应电荷面密度随极角的分布。容易看出，点电荷距离球心越远，感应电荷分布越不均匀，壳内壁离点电荷越近，电荷面密度越大，反之，就越小。同样，球壳内的电场(电场强度和电势)分布也具有轴对称性，故只需研究xOy平面内电势即可, 在图1(c)和图1(d)给出导体球壳接地时的等势线，图1(c)和图1(d)分别对应于点电荷距离球心d=0.05m、0.09m的接地球壳内等势线分布,两个图中的13条等势线从外到内分别对应的电势值为：φ=0、0.2q/(4πε0)、0.4q/(4πε0)、0.6q/(4πε0)、0.8q/(4πε0)、1.0q/(4πε0)、2.0q/(4πε0)、4.0q/(4πε0)、6.0q/(4πε0)、8.0q/(4πε0)、10.0q/(4πε0)、20.0q/(4πε0)、40.0q/(4πε0)。

由于壳外感应正电荷在壳内产生电场强度为零，故球壳外感应正电荷与点电荷无相互作用的电场力，所以A处点电荷与球壳内外壁上感应电荷之间的相互作用电场力就等效于A处点电荷与A1处像点电荷之间的作用力，其大小为

(11)

2 沿径向的均匀带电线状体作用下壳内的电场

图2 均匀带电线状体与导体球壳(a) 球壳内带电线状体与像线状体; (b) d=0m时的等势线; (c) d=0.03m时的等势线; (d) d=0.05m时的等势线

接下来研究沿径向放置的均匀带电线状体与导体球壳内壁上感应负电荷之间相互作用下内壁上感应负电荷电荷面密度、壳内电势和相互作用的电场力。如图2(a)所示，设长为L，均匀带电量为q线状体沿径向放置，其左端距离球心为d。当导体球壳处于静电平衡时，在线状体上任一点A(x1,0,0)(d≤x≤d+L)处取一微元电荷dq， 由逆镜像法，微元电荷dq经球面成像于A1(x2,0,0) 其中x2=R2/x1(R2/(d+L)≤x2≤R2/d)，其像电荷为dq′=-dqR/x1, 则整个线状体经球面成像于球壳外，仍为线状体，带电就不再均匀，遵从dq′=-dqR/x1分布规律。如该微元电荷在球壳内壁上产生等量感应负电荷-dq，其内壁上任一点P(Rcosθ,Rsinθcosφ,Rsinθsinφ)电荷分布由式(6)决定。由此整个均匀带电线状体在球壳内壁上产生的感应负电荷在P点分布由叠加原理有：

(12)

当L→0时，式(12)将变为式(6)。

利用叠加原理，可得在均匀带电线状体作用下内壁上产生的感应负电荷和带电线状体共同产生的电势，则壳内任意一点P1(x,y,z)的电势：

(13)

(14)

下面计算均匀带电线体与球壳内壁上感应电荷相互作用的电场力。根据逆镜像法，带电线体与壳内壁上感应负电荷相互作用力等效于均匀带电线体与像带电线体之间的作用力，如图2(a)所示，这就等效于计算同一直线上两带电线体之间的电场力。在均匀带电线体A(x,0,0)点取一微元电荷dq，它经球面成像于A′(x′,0,0) (x′=R2/x)，其像电荷为dq′=-dqR/x。再在壳内均匀带电线体上任一点A1(x1,0,0)取一微元电荷dq1，则这两个微元电荷的相互作用力大小为

(15)

对式(15)的变量x1、x积分可得：

(16)

当L→0较小时，可将上式中的对数展开

(17)

将式(17)代入式(16)，当L→0时，上式变为式(11)。或直接用Mathematica数学软件中求极限指令对求极限式(14)也得到相同结果。

在图1(b)～图1(d)中画出了在接地球壳内沿径向放置的均匀带电细棒作用下且导体球壳处于静电平衡时壳内的不同电势值的分布的图像，图中球壳半径仍取R=0.10m，细棒长L=0.04m，图2(b)、图2(c)和图2(d)这3个图中沿径向放置的带电细棒最近端距球心的距离分别为d=0m、0.03m、0.05m，图中10条等势线从外到内分别对应的电势值为：φ=0、0.5q/(4πε0)、1.0q/(4πε0)、1.5q/(4πε0)、2.5q/(4πε0)、4.0q/(4πε0)、5.0q/(4πε0)、10.0q/(4πε0)、20.0q/(4πε0)、40.0q/(4πε0)。

3 结语

本文根据光学中光路可逆性原理，将电动力学理论中的镜像法拓展运用，并利用Mathematica数学软件，研究了导体球壳内点电荷作用下，球壳内壁上感应电荷的分布和壳内空间的电势，并计算了点电荷与内壁上感应电荷之间的相互作用力，并绘出感应电荷的分布和球壳电势的等势线的图像。运用这一方法进一步计算了在壳内连续带电线状体作用时壳内壁上感应电荷分布，球壳电势的等势线等。本文采用逆行思维方法对物理研究及教学有一定的理论价值。