传输矩阵法在大学物理波动光学教学中的应用

王 辉 朱 浩 樊代和 吴 平 何 钰 马小娟

(西南交通大学物理科学与技术学院，四川 成都 611756)

1 提出问题

在现代光学技术中，从基本的光学元件增反膜和增透膜[1]，到超快光路中用来补偿飞秒激光色散的啁啾镜，以及半导体微腔领域中广泛使用的分布式布拉格反射器(DBR)[2]，这些光学元件基本的特征是具有均匀各向同性的多层介质结构，其基本原理是线性光学范围内的电磁波的叠加干涉原理[3]。

对于多层介质光学系统，由于电磁波在介质分界面上的多次反射和折射，形成了复杂的多光束叠加干涉。多光束的叠加干涉是大学物理波动光学中的重点教学内容。在大学物理的教学过程中，对于多光束的叠加干涉一般以阐述光程差为主，相应的明暗条纹分布公式也相对抽象，不利于直观地反映光学系统的光学特性[4]。如何更直观地反映电磁波在多层介质上的传播性质，对于深入理解物理基本概念、培养学生的创新能力和“学以致用”的能力具有重要意义。

传输矩阵法在薄膜光学中广泛用于处理多层介质的光学特性，在光学器件的设计和应用中起到了重要的作用[5-7]。传输矩阵法采用矩阵形式处理复杂的多光束叠加干涉的过程，最终从反射系数和透射系数的角度来衡量光学系统对电磁波幅度和相位的调制，从而能更直观地反映光学系统的工作原理和光学特性，同时更清晰地阐述电磁波相干叠加的物理意义及其应用。

我们通过向学生布置小课题的形式，让学生应用Matlab软件解决、研究具体物理问题。Matlab是美国MathWorks公司开发的一套高性能的数值计算和可视化软件，由于其具有丰富的计算功能和科学计算数据的可视化能力，在大学物理教学和培养学生的科学素养方面具有重要的应用价值[8-11]。我们以“增反膜”为研究起点，同时鼓励本科生进阶到较复杂的“分布式布拉格反射器(DBR)”光学系统的研究。通过建立物理模型，基于传输矩阵思想以及Matlab编程让本科生对大学物理波动光学中电磁波的相干叠加进行了深入研究。实现了多层介质系统中传输矩阵的数学算法，直观形象地展示了电磁波在多层介质分界面上的传播性质和光学器件的光学特性。

2 多层均匀平板介质系统的传输矩阵原理

多层均匀平板介质系统的传输矩阵的基本思想是将电磁波的电场分量和磁场分量所遵循的麦克斯韦方程组在边界上分解为线性方程组，电场分量和磁场分量的振幅和相位的改变通过其系数，即矩阵元来改变，因此出射电磁波的场分量和入射电磁波的场分量通过传输矩阵相联系。假设系统含有n层介质，如图1所示。

图1 传输矩阵示意图

最终从第一层介质反射的波Er与入射波复振幅的比值为系统的总反射系数r，从第n层透射的波Et与入射波复振幅的比值为系统的总透射系数t：

Er=r·Ein，Et=t·Ein

(1)

(2)

其中rn-1,n，tn-1,n为第(n-1)和第n层分界面上的反射系数和透射系数，它们可由菲涅耳公式给出[12，13]。对于理想的无损耗介质，介质内的传播矩阵只改变在其中的传播波的相位，因此与传播相位因子相联系：

(3)

其中β为传播相位因子，由第(n-1)层的介质厚度dn-1、折射率nn-1以及角度θn-1给出：

(4)

界面矩阵和传播矩阵共同作用在入射波上来调制入射波的振幅和相位，因此对应系统的总的传输矩阵为

(5)

有了传输矩阵S，总的反射系数r和透射系数t，可由传输矩阵的矩阵元给出：

(6)

上述公式默认存在2个以上的介质分界面，即n≥3。对于n=2的情况，即单一分界面，不存在传播矩阵，传输矩阵S退化为单一的界面矩阵H1,2，这时系统的总的反射系数和透射系数就是菲涅耳公式给出的单一界面的求解公式[12-13]。

3 实例分析

3.1 研究案例1：增反膜

在大学物理教学中，对于“增反膜”内容的教学一般是围绕干涉相长和相消的条件展开，学生接受起来比较抽象，不利于直观地反映光学系统的光学特性。在我们给学生布置的“增反膜”小课题中，基于传输矩阵思想，通过Matlab编程，从反射率、透射率的角度，直观展示了增反膜的反射率、透射率随入射波长及介质膜厚度的变化规律，同时直观展示了能量守恒定律。

我们以设计的 “空气+介质膜(TiO2)+玻璃(SiO2)+空气”增反膜结构为例展开研究，其中增反膜结构中空气折射率n1=1、介质膜(TiO2)折射率n2=2.45、玻璃(SiO2)折射率n3=1.5。

3.1.1 反射率、透射率随入射波长的变化规律

川端康成将女性当作是圣洁的化身与纯洁爱情的象征，对少女美的执着与追求，使其成为审美的主体，并且毫不掩饰地对这种美进行赞誉与褒奖。作者还会将女性的美当作是现实社会中的精神救赎者，因此展现出女性的生命意义与价值，《睡美人》将女性生命的意义表现得淋漓尽致，并诠释了女性的价值，男性崇拜与敬畏此种女性特有的救赎意义，这也让其作品具有了更为深刻的理性探索价值。

选取可见光波段λ(390～730nm)，入射角为30°，介质膜厚度为150nm，玻璃厚度为5mm。反射率、透射率随入射波长的变化如图2、图3所示。

图2 反射率随入射波长的变化

图3 透射率随入射波长的变化

从图2、图3可以看出，在入射角度和介质膜厚度确定的条件下，增反膜的反射率随入射波长大体上呈先增后减的趋势，在波长460nm附近达到最大值0.58；透射率随入射波长大体上呈先减后增的趋势，在波长460nm附近达到最小值0.42。图3中透射率的变化和图2中反射率的变化趋势相反，但透射率和反射率的和始终等于1。

3.1.2 反射率、透射率随介质膜厚度的变化规律

设定入射波长为600nm，入射角为30°，介质膜厚度为100～190nm，反射率、透射率随介质膜厚度的变化规律如图4、图5所示。

图4 反射率随介质膜厚度的变化

图5 透射率随介质膜厚度的变化

如图4所示，反射率随介质膜厚度的变化大体上呈现先减后增再减的趋势。在介质膜厚度为115nm时反射率最小；在115～180nm之间，反射率随介质膜厚度的增大而增大，并在介质膜厚度为180nm时达到最大值，最大值为0.5左右。在180～190nm之间，反射率又随着介质膜厚度的增大而减小。如图5所示，透射率的变化规律和反射率的变化规律相反，但反射率和透射率之和仍然为1。

3.2 研究案例2：分布式布拉格反射器

在“增反膜”研究的基础上，我们鼓励学有余力的学生进一步进行拓展、深入研究。例如，我们构建了由砷化镓GaAs和铝化砷AlAs组成的分布式布拉格反射器(DBR)。为了更好地模拟实际情况，我们考虑了组成DBR的GaAs和AlAs的实验测定的折射率。设定入射波长范围为800～1100nm, 在此范围内GaAs和AlAs的折射率随波长缓慢变化。我们选取其折射率的平均值来设计DBR中GaAs和AlAs的厚度，设定为相应光学波长的1/4：

d1=λ0/4n1，d2=λ0/4n2

(7)

其中，n1=3.54和n2=2.97分别为GaAs和AlAs的平均折射率；d1和d2为每层GaAs和AlAs的厚度；λ0为真空中的波长。在Matlab编程中，菲涅尔公式采用p偏振光入射的情况。

以λ0=950nm为例，设置腔体长度为429nm，前后两端的DBR的周期数为M=N=15，微腔的反射率随波长的变化规律如图6所示：

图6 微腔的反射率随波长的变化曲线

从图6可以看出，微腔在900nm到1020nm的范围内出现了接近于1的反射率，重要的是电磁波的干涉叠加造成了微腔在970nm处出现了带宽很窄的共振峰，实现了很好的选频特性。

4 结论

我们基于传输矩阵法的基本原理，通过Matlab编程实现了多层均匀介质系统(增反膜和分布式布拉格反射器)中传输矩阵的数学算法，从反射率、透射率的角度直观展示了电磁波在复杂多层介质中的传播，为本科生进行大学物理波动光学部分的深入、探究式学习提供了范例。通过上述研究案例可以看到，在大学物理的教学过程中，如果将数值仿真和理论知识有机融合，并对研究内容进行适当拓展，让学生成为学习的“参与者”而非“旁观者”，可以有效提高学生解决问题的能力和“学以致用”的能力，为本科生进行后续专业的学习和研究“留接口、开窗口”，这也是提升“大学物理课程”在新时代人才培养中的地位和作用的有益探索。