利用图像特征巧解高中数学函数题研究

余文

摘 要：图像与函数是密不可分的，通过图像可以将抽象的函数直观展现在学生面前，使函数问题具体化、清晰化。文章通过对函数图像与函数问题的关联研究，提出如何利用函数图像解答高中数学函数问题，帮助学生轻松应对数学函数问题，使学生能够摆脱函数学习困境，获得学习自信，并提出函数教学的合理建议，以提高课堂教学质量。

关键词：高中函数;图像特征;解题技巧;对策建议

中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1008-3561（2019）27-0057-02

函数是高中数学的重要内容，也是学生接受高层次学习的基础内容。函数不仅在数学中涉及，还存在于其他学科和专业中。因此，函数是高中生必须掌握和具备的数学知识。利用函数图像将函数语言转化为图像，可以使函数更加直观，学生理解起来更容易。本文对如何利用函数图像解答函数题进行论述。

一、高中函数及函数图像的特点和意义

函数在高中数学中占有很重要的地位。从内容上看，很多数学内容都涉及函数，函数属于解题的重要方式，具有很强的应用性和分析价值;从难易程度来看，函数的延展性比较强，既可以简化，又可以涉及较难的知识点;从题型来看，通过变化，函数题型十分丰富，既可以简单考查某一知识点，以填空和单选形式出现，又可以考查函数多个知识点以及和其他知识点的联系，以解答分析题出现在试卷最后;从函数的学习意义来看，函数不仅仅是独立的数学学科内容，还应用于物理、经济学等学科和专业，学生学习函数的过程不会只停留在高中阶段，当升入大学后，很多专业知识都会涉及函数。

由此可见，高中函数对学生数学学习、其他学科学习以及思维的培养有着重要的意义。函数图像作为函数的一部分，具有解释函数、辅助学生理解函数的作用。通过函数图像辅助函数教学，可使学生较快掌握函数题的特点和解题方式。在函数教学中，教师应当让学生养成利用函数图像解答函数题的习惯，使学生形成清晰的函数思维。

二、利用图像解答函数问题的原则

1.利用函数图像，培养学生图像思维

函数与图像是密不可分的，函数是图像的表示，图像是函数的体现。学生学习函数，就应养成函数图像解题思维。高中教师在函数教学中，要以培养学生图像思维能力为原则，使学生养成图像解题的习惯，利用函数图像分析语言，促使学生在短时间内能够利用很少的运算得到函数题的答案。

2.利用函数图像，培养学生解题技巧

函数图像解题思维要以扎实的解题技巧为基础。俗话说：“巧妇难为无米之炊。”仅有利用图像的思维，缺少解题技巧，在面对函数题时不知道如何利用，也是无法实现良好结合的。教师要以培养学生解题技巧为原则，让学生在解题时可以根据题目和重点画出函数图像，找到解题方式。

3.利用函数图像，培养数形结合意识

函数与图像是不可分割的，教师利用函数图像培养学生数形结合意识，在题目中设计做图像的例题，既能锻炼学生的画图能力，也能培养学生的图像思维意识。学生利用函数的特性，将特性表现在函数图像中，能逐渐形成看到图像就获得表达式的技能，培养数形结合意识。

三、利用函数图像解答函数题的实践研究

单纯地利用文字整理题目内容和关键点，难以得到全面、有效的答案，而通过绘制函数图像解答函数问题，却可以直观地分析、判断。另外，利用函数图像与函数性质对应，还可以解决函数零点、根的个数、不等式等问题。因此，在看到函数问题时，学生首先要考虑可以绘制什么样的函数图像，通过函数图像进行接下来的探究。

1.对函数图像分类讨论

学生利用函数图像，可以对函数进行分类。函数问题中，分类讨论的题目十分常见，并且情况复杂，学生仅通过文字很难把所有情况逐一列举。因此，学生要掌握函数的特殊性質，在绘制函数图像后，通过图像对各种情况展开讨论。有些函数题中，由于自变量的变化会影响函数，这时教师可让学生绘制出函数图像，利用坐标表达函数，再对自变量进行分类讨论。常见的图像与函数对应关系为：从函数的最高点、最低点得到函数极值、最值，从图像分析奇偶性，从图像的趋势分析单调性和周期。例如，函数中带有绝对值判断单调性，就要通过去掉绝对值，画出函数图像进行分析，分别讨论写出正负x时的函数，再画出函数图像，选择x对应的曲线，去掉不对应部分，形成图像。又如，对于常见的指数函数y=（a-1）x，首先要明确图像与（a-1）的关系，再把图像和方程结合，分别导出（a-1）与0和1的关系，进行不同情况下的函数图像的表达，就可以判断图像走向和趋势。这种利用画图分类讨论的形式，可以节省学生解题时间，提高解题效率，使学生数学函数思维更加清晰。

2.对函数图像进行特征应用

通过基础图像表达函数，再利用函数图像获得表达式，是函数最基本的特征。很多时候，单一的函数问题无法从函数式中获得答案，学生要通过函数特有的特点，画图分析，得到答案。例如，对于“做出y=x+1/x的函数图像”，学生要根据函数的性质，利用函数的奇偶性判断出该函数为奇函数，然后根据特性做出x>0时的函数图像，得到x>0时函数≥2，得到函数最低点为（1，2），再通过分析x在（0，1）为减函数，在x>1时为增函数，结合x+1/x>x，得到结论y=x为渐近线，最后画出图像。学生利用函数的特点，画出函数图像，找到函数特有的性质，就可以顺利解答函数题。另一种方式就是通过描述，写出函数方程式，然后选择正确的函数图像，这类试题以文字表述为主，需要学生从文字中提炼关键语句，获得主要内容，再进行下一步分析，讨论不同情况下的函数表达式，并利用函数表达式做出函数图像。例如，对于“利用图像表达出图形中移动点包含的阴影面积。在直角梯形ABCD中，角B为直角，BC=CD=1/2AB，DC∥AB，有一点P沿着C到D方向运动，若P移动的路程为x，组成的三角形ABP面积为y，写出x与y的函数关系式，并做出图像”。学生可通过试题，得到梯形样式和P点的移动，做出图像，再把三角形用阴影表示出来，模仿P点移动轨迹，寻找P点移动过程中面积的区别，发现P点在BC边上移动形成变化的三角形，在CD边上移动则形成了上底、下底、高都不变的直角梯形，然后分别写出函数关系式，做出函数图像。这样，学生就通过语言文字，提取函数关系，再利用函数关系分析函数图像，最终得到答案。

3.通过函数图像，快速解答选择题

很多函数题的解答需要烦琐的过程，花费大量的时间。在有规定时间的考试中，对于涉及函数的选择题，学生可利用特殊值带入或者函数图像估算、排除、确定最终选项。一些选择题锻炼的就是学生对函数特性的理解能力，并非需要学生计算出具体的答案，这时函数图像就在解题中发挥了重要的作用。利用函数方程求不等式就是很好的应用，当不等式不能带入或者麻烦的时候，就可以利用其对应的函数方程，将不等式转化为两个不等式的函数方程，从两个函数方程在直角坐标系上的位置关系判断不等式的大小。例如，判断对数函数的大小时，试题中给出a、b的大小关系，0

综上所述，利用图像解答函数问题，可以帮助学生直观、具体、全面地分析问题，获得思路和答案。教师应当将函数图像解题思维和解题技巧渗透在函数教学中，让学生学会绘制函数图像，对函数进行分类讨论，遇到情境问题时则仔细耐心地判断特征，利用函数图像特征解答函数问题，掌握函数特性，为深入研究函数打下基础。

参考文献：

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