另辟蹊径解决数列求和问题

浙江省绍兴鲁迅中学(312030) 徐 耀

数列求和是数列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象.高考对数列求和的考查主要有两种形式,一种是直接利用等差、等比数列的前n项和公式考查等差、等比数列的求和问题；另一种是利用错位相减法、裂项相消法、并项求和法、分组求和法等考查非等差、等比数列的求和问题.事实上,很多时候除了常用的数列求和方法外,还可以通过构造常数列去解决数列求和问题.非零常数列身兼等差数列和等比数列两大特性,在一些数列求和问题中若能适时地构造常数列,则可避免复杂的累加、累乘或迭代等过程,从而使数列求和一步到位,达到事半功倍的效果.

一、解决可利用“公式法”求解的数列求和问题

例1求等比数列{an}的前n项和(公比q/=1).

解由

评注等比数列的求和公式我们一般用“错位相减法”推导,运用构造常数列来求和则极大的减小了这类求和的复杂性.

例2求自然数平方和：Sn=12+22+32+···+n2.

解：Sn=Sn-1+n2,考虑到Sn是一个关于n的三次多项式,故设

评注自然数平方和常见的一种解法为：利用(n+1)3-n3=3n2+3n+1,累加求得.但此种解法有一定的技巧性,不易想到.考虑到自然数平方和是一个关于n的三次多项式,所以通过构造常数列,利用待定系数法求得.

二、解决可利用“错位相减法”求解的数列求和问题

例3(2017年高考天津卷理科)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n ∈N∗),{bn}是首项为2 的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.

(1)求{an}和{bn}的通项公式；

(2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和(n ∈N∗).

解(1)an=3n-2,bn=2n.

(2)a2nb2n-1=(6n-2)· 22n-1=(3n-1)·4n,设数列{a2nb2n-1} 的前n项和为Tn,则Tn-Tn-1=(3n-1)·4n,(n ≥2).设

评注错位相减法是解决形如{(an+b)qn}的数列求和问题的常规方法.借助错位相减法求解此类问题时,必然要用到等比数列的求和公式,通常还会遇到繁分式化简、指数幂的运算等繁琐运算,过程虽然模式化很强,但对学生的运算能力要求较高,因而学生极容易出错.而通过构造常数列,用待定系数法求前n项和,则大大降低了运算要求.

例4(2018年高考浙江卷)已知等比数列{an}的公比q＞1,且a3+a4+a5=28,a4+2 是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1=1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n.

(1)求q的值；

(2)求数列{bn}的通项公式.

解(1) 等比数列{an}的公比q＞1,且a3+a4+a5=28,a4+2 是a3,a5的等差中项,可得2a4+4=a3+a5=28-a4,解得a4=8,由+8+8q=28,可得舍去).

评注本题虽然不是数列求和问题,但由数列{bn}的递推式可知,要求{bn}的通项式,需同时用到累加法和错位相减法,其实质也是个求和问题,由于同时用到了两种方法,故对学生的综合能力要求更高.

例5求数列{(n2+n)2n}的前n项和.

解由an=(n2+n)2n,可得Sn=Sn-1+(n2+n)2n,设Sn+(An2+Bn+C)2n=Sn-1+

解得A=-2,B=2,C=-4,

故 数 列{Sn+(-2n2+2n-4)2n}为 常 数 列,Sn+(-2n2+2n-4)2n=S1-8=-4,所以Sn=(n2-n+2)·2n+1-4.

评注本题数列的通项不是“等差×等比”型,故不能直接用一次错位相减法解决.事实上将通项拆成an=n22n和bn=n2n,数列{bn}的求和可直接用一次错位相减法求得Sn=(n-1)2n+1+2,数列{an}的求和需用两次错位相减法,也可求得Tn=(n2-2n+3)2n+1-6.错位相减法对于学生来说本是一个易错点,而此题需用三次,若能用构造常数列求解,则大大降低了求解的复杂度和难度.

三、解决可利用“裂项相消法”求解的数列求和问题

例6(2016年高考全国卷)已知数列{an}的前n项和Sn=n2.

(1)求{an}的通项公式；

(2) 记bn=求数列{bn} 的前n项和Tn.

解(1)an=2n-1.则故数列为常数列,所以即

评注本题可利用裂项相消法求和,但由于其为隔两项相消,所以需防止对剩余项丢三落四.通过构造常数列求解,则不存在这个问题.

例7(2017年衡水中学三模)已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

解(1)an=2n-1.

所以

即有

评注裂项相消法求和中,裂成两项相减较为常见,但本题中根据数列{bn}的通项特点,需裂成两项相加,再对项数进行奇偶讨论求解.

四、解决可利用“并项求和法”求解的数列求和问题

例8(2019年绍兴鲁迅中学高考模拟) 已知数列{an}满足数列{bn}满足bn=an+1,数列{cn}的前n项和Sn=nlog2bn.

(1)证明数列{bn}是等比数列,并求{bn}的通项公式；

(2)令dn=(-1)ncncn+1,Tn为数列{dn}的前n项和,求Tn.

解(1)bn=2n-3；

则

得2A=-4,2B-2A=12,A+2C-B=-8,解得A=-2,B=4,C=-1.故数列

评注因为dn+dn+1=8(-1)n+1(n-1),所以本题也可通过对项数进行奇偶讨论,并项求和来求解.可求得当n为奇数时,Tn=-2(n-1)2；当n为偶数时,Tn=2n(n-2).

五、解决可利用“分组求和法”求解的数列求和问题

例9(Z20 联盟2019 届第二次联考)若数列{an}的前n项和为Sn满足Sn+an=2(n ∈N∗),等差数列{bn}满足b1=a1,b4=4S3.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2) 设cn=nan+(-1)nbn,求数列{cn} 的前n项和

解(1)

则

得An-2A+2B-B=2n,2Cn-C+2D=1-2n,

解得A=2,B=4,C=-1,D=0.故数列

评注本题也可用分组求和法求解,数列{cn} 的通项有两部分构成,前半部分可用错位相减法求得和为后半部分可用并项求和法求得和为(-1)nn.利用构造常数列求和,可一步到位求出数列{cn}的前n项和.

例10(2017年天津一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,公比q＞0,S2=2a2-2,S3=a4-2.

(1)求数列{an}的通项公式；

解(1)an=2n.(2)

评注本题中,数列{bn}的奇数项和偶数项的通项公式不同,要我们求的是前2n项和,奇数项组成的新数列可用裂项相消法求和,偶数项组成的新数列可用错位相消法求和,故此题也可用分组求和法求解.

通过构造常数列进行数列求和给我们提供了数列求和的另外一种途径,值得指出的是,在实际解题中,我们应该根据实际情况或自己对方法的掌握程度,去选择最佳的求和方法,不能一味地追求变常数列,这样可能反而降低了学习数学的效率,减弱了数学解题的多样性和对解题方法的掌握.