由嵌入不等式生成代数不等式的一种方法

河南省南阳师范学院软件学院(473061) 李居之

嵌入不等式最早出现于英国数学家Joseph Wolstenholme在其1867年的著作中,因而有时也被称为Wolstenholme 不等式.它被公认为是三角形中最重要的不等式之一,还被人们称之为“三角形母不等式”,因此可由嵌入不等式生成众多的三角形不等式,代数不等式等.本文从嵌入不等式出发,先导出一个结论,并以此派生出一系列含参的三元代数不等式.

嵌入不等式对△ABC和任意的实数x,y,z,均有

x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC,

在嵌入不等式中,令p=2yz,q=2zx,r=2xy,且p,q,r＞0,即得

引理对△ABC和正数p,q,r,均有

引理即为文[1]的题4.由此,再借助一些三角形恒等式,可生成一系列的代数不等式.

命题1 设a,b,c,p,q,r为正数,且满足a+b+c=abc,则有

证明注意到在锐角△ABC中,有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,因而可令a=tanA,b=tanB,c=tanC,其中A,B,C为锐角△ABC的三个内角.利用三角函数的性质并结合引理得

在命题1 中,取p=q=r=1,即得1998年韩国数学奥林匹克竞赛题：

已知正实数a,b,c满足a+b+c=abc,求证：

取p=q=1,r=4,即得《数学通讯》2019年第2 期问题387：

设正数x,y,z且满足x+y+z=xyz,求证：

命题2 设a,b,c,p,q,r,为正数,且满足a+b+c=abc,则有

证明注意到在锐角△ABC中,有

命题3 设a,b,c,p,q,r,为正数,且满足a2+b2+c2+2abc=1,则有

证明注意到在锐角△ABC中,有

因而可令a=cosA,b=cosB,c=cosC,其中A,B,C为锐角△ABC的三个内角,利用三角函数的性质并结合引理得

在命题3 中,取p=q=r=1,即得2011年摩洛哥数学奥林匹克竞赛题：

已知x,y,z＞0,x2+y2+z2+2xyz=1,求证：2(x+y+z)≤3.

取p=q=r=1,令即得2005年罗马尼亚数学奥林匹克竞赛题：

已知x,y,z＞0,xy+yz+zx+2xyz=1,求证：

命题4 设a,b,c,p,q,r为正数,且满足a2+b2+c2+2abc=1,则有

证明注意到在锐角△ABC中,有

命题5 设a,b,c,p,q,r为正数,且满足ab+bc+ca=1,则有

命题5 即为文[2]中的结论,这里不再证明.取p=q=2,r=3 即为《数学通报》2018年第9 期数学问题2442：

已知a,b,c为正实数,且ab+bc+ca=1,试证明：

命题6 设a,b,c,p,q,r为正数,且满足ab+bc+ca=1,则有

证明注意到在锐角△ABC中,有cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1,因而可令a=cotA,b=cotB,c=cotC,其中A,B,C为锐角△ABC的三个内角.利用三角函数的性质并结合引理得

注事实上,在命题1 中,对变量作倒代换,并约束其取值范围,即得命题6.

命题7 设a,b,c,p,q,r为正数,且满足a+b+c=1,则有

证明注意到在锐角△ABC中,有

因而可令

其中A,B,C为锐角△ABC的三个内角.利用三角函数的性质并结合引理得

在命题7 中,取p=q=r=1,即得文[3]第5 个优美不等式、《数学通讯》2010年第1、2 问题5、《数学教学》2010年第2 期问题788、《数学通讯》2019年第8 期问题415：

设x,y,z为正实数,且满足x+y+z=1,求证：

命题8 设a,b,c,p,q,r为正数,且满足a+b+c=1,则有

证明注意到在锐角△ABC中,有

因而可令

其中A,B,C为锐角△ABC的三个内角.利用三角函数的性质并结合引理得

在命题8 中,取p=q=r=1,即得2005年法国数学奥林匹克竞赛题：

已知x,y,z＞0,x+y+z=1,求证：

在以上命题中,由三角形恒等式生成代数不等式的方法都可以证明其充要性,有兴趣的读者不妨自行尝试证明.